Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{3 \sqrt{3}}{2}} \frac{x^{3}}{\sqrt{4 x^{2} + 9}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $9 \tan^{2} (t) + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.2.2

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.2.3

Đưa $9$ ra ngoài $9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.4

Viết lại $9 \sec^{2} (t)$ ở dạng ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.1.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{{(3 \tan (t))}^{3}}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{3^{3} \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.2.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.2.3.3

Viết lại $\frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)}$ ở dạng một tích.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8} \cdot \frac{1}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.2.3.4

Nhân $\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}$ với $\frac{1}{3 \sec (t)}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8 (3 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.2.3.5

Nhân $3$ với $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.2.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $27$ và $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $27 \tan^{3} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.2.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $24 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.2.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.2.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2.2.3.7

Nhân $\frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)}$ với $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t) (3 \sec^{2} (t))}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

Bước 2.2.2.3.8

Nhân $3$ với $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

Bước 2.2.2.3.9

Nhân $2$ với $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{16 \sec (t)} d t$

Bước 2.2.2.3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $\sec^{2} (t)$ và $\sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.10.1

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{16 \sec (t)} d t$

Bước 2.2.2.3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.10.2.1

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $16 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

Bước 2.2.2.3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

Bước 2.2.2.3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec (t)}{16} d t$

Bước 3

Vì $\frac{27}{16}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{27}{16}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Bước 4

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Bước 5

Đưa $\tan^{2} (t)$ ra ngoài.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Bước 6

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Bước 7

Rút gọn.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Bước 8

Giả sử $u = \sec (t)$ . Sau đó $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , nên $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = \sec (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Bước 8.1.2

Đạo hàm của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Bước 8.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Bước 8.3

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 8.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

Bước 8.5

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{3})$ là $2$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 8.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 8.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{27}{16} \int_{1}^{2} - 1 + u^{2} d u$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{27}{16} (\int_{1}^{2} - 1 d u + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2})$

Bước 12

Kết hợp $- u]_{1}^{2}$ và $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$ .

$\frac{27}{16} - u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

Bước 13

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ tại $2$ và tại $1$ .

$\frac{27}{16} ((- 1 \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Bước 13.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Bước 13.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 8 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Bước 13.2.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $8$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Bước 13.2.4

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (- 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Bước 13.2.5

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Bước 13.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Bước 13.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.7.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 6 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Bước 13.2.7.2

Cộng $- 6$ và $8$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Bước 13.2.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Bước 13.2.9

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

Bước 13.2.10

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Bước 13.2.11

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Bước 13.2.12

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Bước 13.2.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Bước 13.2.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.14.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Bước 13.2.14.2

Cộng $- 3$ và $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 2}{3})$

Bước 13.2.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - - \frac{2}{3})$

Bước 13.2.16

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Bước 13.2.17

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + \frac{2}{3})$

Bước 13.2.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{27}{16} \cdot \frac{2 + 2}{3}$

Bước 13.2.19

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{27}{16} \cdot \frac{4}{3}$

Bước 13.2.20

Nhân $\frac{27}{16}$ với $\frac{4}{3}$ .

$\frac{27 \cdot 4}{16 \cdot 3}$

Bước 13.2.21

Nhân $27$ với $4$ .

$\frac{108}{16 \cdot 3}$

Bước 13.2.22

Nhân $16$ với $3$ .

$\frac{108}{48}$

Bước 13.2.23

Triệt tiêu thừa số chung của $108$ và $48$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.23.1

Đưa $12$ ra ngoài $108$ .

$\frac{12 (9)}{48}$

Bước 13.2.23.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.23.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $48$ .

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

Bước 13.2.23.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

Bước 13.2.23.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9}{4}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{9}{4}$

Dạng thập phân:

$2.25$

Dạng hỗn số:

$2 \frac{1}{4}$

Bước 15