Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{0.786} x \sin^{2} (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin^{2} (x)$ .

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x))]_{0}^{0.786} - \int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 x))]_{0}^{0.786} - \int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

Bước 2.2

Kết hợp $\sin (2 x)$ và $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - \int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\int_{0}^{0.786} \frac{x}{2} d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Bước 4.2

Kết hợp $\sin (2 x)$ và $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\int_{0}^{0.786} \frac{x}{2} d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.786} x d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{0.786} + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786} + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \int_{0}^{0.786} \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Bước 9

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - (\frac{1}{4} \int_{0}^{0.786} \sin (2 x) d x))$

Bước 10

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 10.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 10.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 10.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 10.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.786$

Bước 10.5

Nhân $2$ với $0.786$ .

$u_{upper} = 1.572$

Bước 10.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.572$

Bước 10.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{4} \int_{0}^{1.572} \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 11

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{4} \int_{0}^{1.572} \frac{\sin (u)}{2} d u)$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{1.572} \sin (u) d u))$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 4} \int_{0}^{1.572} \sin (u) d u)$

Bước 13.2

Nhân $2$ với $4$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{8} \int_{0}^{1.572} \sin (u) d u)$

Bước 14

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{8} - \cos (u)]_{0}^{1.572})$

Bước 15

Kết hợp $- \cos (u)]_{0}^{1.572}$ và $\frac{1}{8}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{- \cos (u)]_{0}^{1.572}}{8})$

Bước 16

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Tính $x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})$ tại $0.786$ và tại $0$ .

$(0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0.786)}{4})) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{- \cos (u)]_{0}^{1.572}}{8})$

Bước 16.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $0.786$ và tại $0$ .

$(0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0.786)}{4})) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{- \cos (u)]_{0}^{1.572}}{8})$

Bước 16.3

Tính $- \cos (u)$ tại $1.572$ và tại $0$ .

$(0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0.786)}{4})) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.1

Nhân $2$ với $0.786$ .

$0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (1.572)}{4}) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.2

Nhân $0.786$ với $\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (1.572)}{4}$ .

$0.11239814 + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$0.11239814 + 0 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$0.11239814 + 0 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0.11239814 + 0 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$0.11239814 + 0 (\frac{0}{1} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$0.11239814 + 0 (0 - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.4

Nhân $2$ với $0$ .

$0.11239814 + 0 (0 - \frac{\sin (0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.5

Trừ $\frac{\sin (0)}{4}$ khỏi $0$ .

$0.11239814 + 0 (- \frac{\sin (0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.6

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0.11239814 + 0 \frac{\sin (0)}{4} - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.7

Nhân $0$ với $\frac{\sin (0)}{4}$ .

$0.11239814 + 0 - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.8

Cộng $0.11239814$ và $0$ .

$0.11239814 - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.9

Nâng $0.786$ lên lũy thừa $2$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{0}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.11

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{2 (0)}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.11.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{0}{1}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.11.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - 0}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.12

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} + 0}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.13

Cộng $\frac{0.617796}{2}$ và $0$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.14

Viết lại $\frac{\frac{0.617796}{2}}{2}$ ở dạng một tích.

$0.11239814 - (\frac{0.617796}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.15

Nhân $\frac{0.617796}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$0.11239814 - (\frac{0.617796}{2 \cdot 2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.16

Nhân $2$ với $2$ .

$0.11239814 - (\frac{0.617796}{4} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Bước 16.4.17

Trừ $\frac{0.617796}{4} - \frac{- \cos (1.572) + \cos (0)}{8}$ khỏi $0.11239814$ .

$0.0830996$