Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} + \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Bước 2

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \cos (4 x) d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = 4 x$ . Sau đó $d u_{1} = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = 4 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 3.1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Bước 3.3

Nhân $4$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

Bước 3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Bước 3.5.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Bước 4

Kết hợp $\cos (u_{1})$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Bước 5

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Bước 6.2

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Bước 7

Tích phân của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Bước 8

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \sin (4 x) d x$

Bước 9

Giả sử $u_{2} = 4 x$ . Sau đó $d u_{2} = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u_{2} = 4 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 9.1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 9.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 9.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Bước 9.3

Nhân $4$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 9.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

Bước 9.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

Bước 9.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Bước 9.5.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Bước 9.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Bước 9.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Bước 10

Kết hợp $\sin (u_{2})$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Bước 11

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 12.2

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 13

Tích phân của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

Bước 14

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính $\sin (u_{1})$ tại $\frac{3 π}{4}$ và tại $0$ .

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

Bước 14.2

Tính $- \cos (u_{2})$ tại $\frac{3 π}{4}$ và tại $0$ .

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{3 π}{4})) + \cos (0))$

Bước 14.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - \sin (0)) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

Bước 15.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Bước 15.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) + 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Bước 15.4

Cộng $\sin (\frac{3 π}{4})$ và $0$ .

$\frac{1}{16} \sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Bước 15.5

Kết hợp $\frac{1}{16}$ và $\sin (\frac{3 π}{4})$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Bước 15.6

Để viết $\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{16}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot \frac{16}{16}$

Bước 15.7

Kết hợp $\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ và $\frac{16}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

Bước 15.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

Bước 15.9

Kết hợp $16$ và $\frac{1}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Bước 15.10

Triệt tiêu thừa số chung $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Bước 15.10.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Bước 15.11

Nhân $- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$ với $1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4}) + 1}{16}$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \cos (\frac{π}{4}) + 1}{16}$

Bước 16.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Bước 16.3

Nhân $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Bước 16.3.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Bước 16.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Bước 16.4.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Bước 16.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Bước 16.4.4

Cộng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Bước 16.4.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Bước 16.4.5.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

Bước 17

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

Dạng thập phân:

$0.15088834 \dots$