Giải tích Ví dụ

$\int 2 \sec^{4} (y) d y$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \sec^{4} (y) d y$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2$ cộng $2$

$2 \int {\sec (y)}^{2 + 2} d y$

Bước 2.2

Viết lại ${\sec (y)}^{2 + 2}$ ở dạng $\sec^{2} (y) \sec^{2} (y)$ .

$2 \int \sec^{2} (y) \sec^{2} (y) d y$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (y)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (y)$ .

$2 \int (1 + \tan^{2} (y)) \sec^{2} (y) d y$

Bước 4

Giả sử $u = \tan (y)$ . Sau đó $d u = \sec^{2} (y) d y$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (y)} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \tan (y)$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\tan (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\tan (y)]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\tan (y)$ đối với $y$ là $\sec^{2} (y)$ .

$\sec^{2} (y)$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int 1 + u^{2} d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\int d u + \int u^{2} d u)$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (u + C + \int u^{2} d u)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$2 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Bước 8.2

Rút gọn.

$2 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan (y)$ .

$2 (\tan (y) + \frac{1}{3} \tan^{3} (y)) + C$