Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{e + 1} \frac{4}{x - 1} d x$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{2}^{e + 1} \frac{1}{x - 1} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x - 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Bước 2.3

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 1$ .

$u_{upper} = e + 1 - 1$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$u_{upper} = e + 0$

Bước 2.5.2

Cộng $e$ và $0$ .

$u_{upper} = e$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$4 \int_{1}^{e} \frac{1}{u} d u$

Bước 3

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$4 (\ln (| u |)]_{1}^{e})$

Bước 4

Tính $\ln (| u |)$ tại $e$ và tại $1$ .

$4 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Bước 5

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

$e$ xấp xỉ $2.71828182$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$4 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Bước 6.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$4 \ln (\frac{e}{1})$

Bước 6.3

Chia $e$ cho $1$ .

$4 \ln (e)$

Bước 6.4

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 6.5

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 7