Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{5} \frac{6}{{(3 x + 1)}^{3}} d x$

Bước 1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int_{2}^{5} \frac{1}{{(3 x + 1)}^{3}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 3 x + 1$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 3 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 2 + 1$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$u_{lower} = 6 + 1$

Bước 2.3.2

Cộng $6$ và $1$ .

$u_{lower} = 7$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 5 + 1$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $3$ với $5$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Bước 2.5.2

Cộng $15$ và $1$ .

$u_{upper} = 16$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 16$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{u^{3}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3} \cdot 3} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u^{3}$ .

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{3 u^{3}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{1}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $6$ .

$\frac{6}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 5.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 5.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 5.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 5.1.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Di chuyển $u^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$2 \int_{7}^{16} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Bước 5.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{7}^{16} u^{3 \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$2 \int_{7}^{16} u^{- 3} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 3}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{7}^{16})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $u^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{7}^{16})$

Bước 7.2

Di chuyển $u^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{7}^{16})$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $- \frac{1}{2 u^{2}}$ tại $16$ và tại $7$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 16^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nâng $16$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 256} + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Bước 8.2.2

Nhân $2$ với $256$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Bước 8.2.3

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{2 \cdot 49})$

Bước 8.2.4

Nhân $2$ với $49$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{98})$

Bước 8.2.5

Để viết $- \frac{1}{512}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{1}{512} \cdot \frac{49}{49} + \frac{1}{98})$

Bước 8.2.6

Để viết $\frac{1}{98}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{256}{256}$ .

$2 (- \frac{1}{512} \cdot \frac{49}{49} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Bước 8.2.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $25088$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.7.1

Nhân $\frac{1}{512}$ với $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{49}{512 \cdot 49} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Bước 8.2.7.2

Nhân $512$ với $49$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Bước 8.2.7.3

Nhân $\frac{1}{98}$ với $\frac{256}{256}$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{256}{98 \cdot 256})$

Bước 8.2.7.4

Nhân $98$ với $256$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{256}{25088})$

Bước 8.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{- 49 + 256}{25088}$

Bước 8.2.9

Cộng $- 49$ và $256$ .

$2 (\frac{207}{25088})$

Bước 8.2.10

Kết hợp $2$ và $\frac{207}{25088}$ .

$\frac{2 \cdot 207}{25088}$

Bước 8.2.11

Nhân $2$ với $207$ .

$\frac{414}{25088}$

Bước 8.2.12

Triệt tiêu thừa số chung của $414$ và $25088$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $414$ .

$\frac{2 (207)}{25088}$

Bước 8.2.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.12.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $25088$ .

$\frac{2 \cdot 207}{2 \cdot 12544}$

Bước 8.2.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 207}{2 \cdot 12544}$

Bước 8.2.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{207}{12544}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{207}{12544}$

Dạng thập phân:

$0.01650191 \dots$

Bước 10