Giải tích Ví dụ

$\int_{- 3}^{3} 5 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 1 d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 3}^{3} 5 x^{3} d x + \int_{- 3}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Bước 2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int_{- 3}^{3} x^{3} d x + \int_{- 3}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Bước 8

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 6 \int_{- 3}^{3} x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + - x]_{- 3}^{3}$

Bước 12

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính $\frac{x^{4}}{4}$ tại $3$ và tại $- 3$ .

$5 ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + - x]_{- 3}^{3}$

Bước 12.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $3$ và tại $- 3$ .

$5 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + - x]_{- 3}^{3}$

Bước 12.3

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $3$ và tại $- 3$ .

$5 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + - x]_{- 3}^{3}$

Bước 12.4

Tính $- x$ tại $3$ và tại $- 3$ .

$5 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$5 (\frac{81}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $4$ .

$5 (\frac{81}{4} - \frac{81}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 \frac{81 - 81}{4} + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.4

Trừ $81$ khỏi $81$ .

$5 (\frac{0}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.5

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$5 \frac{4 (0)}{4} + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$5 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$5 (\frac{0}{1}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.5.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$5 \cdot 0 + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.6

Nhân $5$ với $0$ .

$0 + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.7

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$0 + 2 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.8

Triệt tiêu thừa số chung của $27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.8.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$0 + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.8.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$0 + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + 2 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.8.2.4

Chia $9$ cho $1$ .

$0 + 2 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.9

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$0 + 2 (9 - \frac{- 27}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.10

Triệt tiêu thừa số chung của $- 27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 27$ .

$0 + 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$0 + 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + 2 (9 - \frac{- 9}{1}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.10.2.4

Chia $- 9$ cho $1$ .

$0 + 2 (9 - - 9) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.11

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$0 + 2 (9 + 9) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.12

Cộng $9$ và $9$ .

$0 + 2 \cdot 18 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.13

Nhân $2$ với $18$ .

$0 + 36 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.14

Cộng $0$ và $36$ .

$36 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.15

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$36 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.16

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$36 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{9}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$36 + 6 \frac{9 - 9}{2} - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.18

Trừ $9$ khỏi $9$ .

$36 + 6 (\frac{0}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.19

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.19.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$36 + 6 \frac{2 (0)}{2} - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.19.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.19.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$36 + 6 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.19.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$36 + 6 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.19.2.3

Viết lại biểu thức.

$36 + 6 (\frac{0}{1}) - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.19.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$36 + 6 \cdot 0 - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.20

Nhân $6$ với $0$ .

$36 + 0 - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.21

Cộng $36$ và $0$ .

$36 - 1 \cdot 3 - 3$

Bước 12.5.22

Nhân $- 1$ với $3$ .

$36 - 3 - 3$

Bước 12.5.23

Trừ $3$ khỏi $- 3$ .

$36 - 6$

Bước 12.5.24

Trừ $6$ khỏi $36$ .

$30$

Bước 13