Giải tích Ví dụ

$\int_{- 3}^{2} 3 x^{2} + 6 x - 8 d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 3}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} 6 x d x + \int_{- 3}^{2} - 8 d x$

Bước 2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} 6 x d x + \int_{- 3}^{2} - 8 d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 6 x d x + \int_{- 3}^{2} - 8 d x$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 6 x d x + \int_{- 3}^{2} - 8 d x$

Bước 5

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + 6 \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} - 8 d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} - 8 d x$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} - 8 d x$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + - 8 x]_{- 3}^{2}$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $2$ và tại $- 3$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + - 8 x]_{- 3}^{2}$

Bước 9.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $2$ và tại $- 3$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + - 8 x]_{- 3}^{2}$

Bước 9.3

Tính $- 8 x$ tại $2$ và tại $- 3$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{- 27}{3}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 27$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{- 9}{1}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.3.2.4

Chia $- 9$ cho $1$ .

$3 (\frac{8}{3} - - 9) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.4

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$3 (\frac{8}{3} + 9) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.5

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.6

Kết hợp $9$ và $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.8.1

Nhân $9$ với $3$ .

$3 \frac{8 + 27}{3} + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.8.2

Cộng $8$ và $27$ .

$3 (\frac{35}{3}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.9

Kết hợp $3$ và $\frac{35}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 35}{3} + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.10

Nhân $3$ với $35$ .

$\frac{105}{3} + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.11

Triệt tiêu thừa số chung của $105$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.11.1

Đưa $3$ ra ngoài $105$ .

$\frac{3 \cdot 35}{3} + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.11.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 35}{3 (1)} + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 35}{3 \cdot 1} + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{35}{1} + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.11.2.4

Chia $35$ cho $1$ .

$35 + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.12

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$35 + 6 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.13

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$35 + 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$35 + 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$35 + 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$35 + 6 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.13.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$35 + 6 (2 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.14

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$35 + 6 (2 - \frac{9}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.15

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$35 + 6 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.16

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$35 + 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$35 + 6 \frac{2 \cdot 2 - 9}{2} + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.18

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.18.1

Nhân $2$ với $2$ .

$35 + 6 \frac{4 - 9}{2} + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.18.2

Trừ $9$ khỏi $4$ .

$35 + 6 (\frac{- 5}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.19

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$35 + 6 (- \frac{5}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.20

Nhân $- 1$ với $6$ .

$35 - 6 (\frac{5}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.21

Kết hợp $- 6$ và $\frac{5}{2}$ .

$35 + \frac{- 6 \cdot 5}{2} + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.22

Nhân $- 6$ với $5$ .

$35 + \frac{- 30}{2} + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.23

Triệt tiêu thừa số chung của $- 30$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.23.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 30$ .

$35 + \frac{2 \cdot - 15}{2} + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.23.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.23.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$35 + \frac{2 \cdot - 15}{2 (1)} + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.23.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$35 + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1} + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.23.2.3

Viết lại biểu thức.

$35 + \frac{- 15}{1} + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.23.2.4

Chia $- 15$ cho $1$ .

$35 - 15 + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.24

Trừ $15$ khỏi $35$ .

$20 + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.25

Nhân $- 8$ với $2$ .

$20 - 16 + 8 \cdot - 3$

Bước 9.4.26

Nhân $8$ với $- 3$ .

$20 - 16 - 24$

Bước 9.4.27

Trừ $24$ khỏi $- 16$ .

$20 - 40$

Bước 9.4.28

Trừ $40$ khỏi $20$ .

$- 20$

Bước 10