Giải tích Ví dụ

$\int_{2 π}^{4 π} \cos (\frac{x}{4}) d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{x}{4}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{4} d x$ , nên $4 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{4}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{4}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Bước 1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{4 π}{4}$

Bước 1.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \frac{4 π}{4}$

Bước 1.5.2

Chia $π$ cho $1$ .

$u_{upper} = π$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{4}$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) (1 \cdot 4) d u$

Bước 2.2

Nhân $4$ với $1$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \cdot 4 d u$

Bước 2.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\cos (u)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 4 \cos (u) d u$

Bước 3

Vì $4$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u$

Bước 4

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$4 (\sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Bước 5

Tính $\sin (u)$ tại $π$ và tại $\frac{π}{2}$ .

$4 (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$4 (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

Bước 6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$4 (\sin (π) - 1)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$4 (\sin (0) - 1)$

Bước 7.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$4 (0 - 1)$

Bước 7.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$4 \cdot - 1$

Bước 7.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 4$