Giải tích Ví dụ

$\int 2 \cos (3 x) + \frac{1}{2} x d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 \cos (3 x) d x + \int \frac{1}{2} x d x$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \cos (3 x) d x + \int \frac{1}{2} x d x$

Bước 3

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \cos (u) \frac{1}{3} d u + \int \frac{1}{2} x d x$

Bước 4

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \frac{\cos (u)}{3} d u + \int \frac{1}{2} x d x$

Bước 5

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u) + \int \frac{1}{2} x d x$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $2$ .

$\frac{2}{3} \int \cos (u) d u + \int \frac{1}{2} x d x$

Bước 7

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{2}{3} (\sin (u) + C) + \int \frac{1}{2} x d x$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{3} (\sin (u) + C) + \frac{1}{2} \int x d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} (\sin (u) + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$\frac{2}{3} \sin (u) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} \sin (u) + \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Bước 10.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{2}{3} \sin (u) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$\frac{2}{3} \sin (3 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$