Giải tích Ví dụ

$\int_{24}^{39} 2 p (10 \sqrt{x}) \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân $10$ với $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Bước 1.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Bước 1.3

Nhân $\frac{5}{\sqrt{x}}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Bước 1.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Nhân $\frac{5}{\sqrt{x}}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Bước 1.4.2

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Bước 1.4.3

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

Bước 1.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

Bước 1.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

Bước 1.4.6

Viết lại ${\sqrt{x}}^{2}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

Bước 1.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

Bước 1.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Bước 1.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Bước 1.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

Bước 1.4.6.5

Rút gọn.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

Bước 1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5 \sqrt{x}}{x}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Bước 1.5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 \sqrt{x}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Bước 1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Bước 1.6.2

Viết lại ${\sqrt{x}}^{2}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Bước 1.6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

Bước 1.6.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Bước 1.6.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Bước 1.6.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Bước 1.6.2.5

Rút gọn.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x}{x^{2}}) x} d x$

Bước 1.7

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Đưa $x$ ra ngoài $25 x$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x^{2}}) x} d x$

Bước 1.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

Bước 1.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

Bước 1.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25}{x}) x} d x$

Bước 1.8

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{25}{x}) x} d x$

Bước 1.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{x + 25}{x} x} d x$

Bước 1.10

Kết hợp $\frac{x + 25}{x}$ và $x$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

Bước 1.11

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

Bước 1.11.2

Chia $x + 25$ cho $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x + 25} d x$

Bước 2

Vì $20 p$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $20 p$ ra khỏi tích phân.

$20 p \int_{24}^{39} \sqrt{x + 25} d x$

Bước 3

Giả sử $u = x + 25$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = x + 25$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x + 25$ .

$\frac{d}{d x} [x + 25]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 25$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [25]$

Bước 3.1.4

Vì $25$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $25$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 3.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x + 25$ .

$u_{lower} = 24 + 25$

Bước 3.3

Cộng $24$ và $25$ .

$u_{lower} = 49$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x + 25$ .

$u_{upper} = 39 + 25$

Bước 3.5

Cộng $39$ và $25$ .

$u_{upper} = 64$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 49$

$u_{upper} = 64$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$20 p \int_{49}^{64} \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$20 p \int_{49}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$20 p \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{49}^{64}$

Bước 6

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $u^{\frac{3}{2}}$ .

$20 p \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{49}^{64}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ tại $64$ và tại $49$ .

$20 p ((\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$20 p (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 7.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 7.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 7.2.4

Nâng $8$ lên lũy thừa $3$ .

$20 p (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 7.2.5

Nhân $2$ với $512$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 7.2.6

Viết lại $49$ ở dạng $7^{2}$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 7.2.7

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Bước 7.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Bước 7.2.8.2

Viết lại biểu thức.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{3}}{3})$

Bước 7.2.9

Nâng $7$ lên lũy thừa $3$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 343}{3})$

Bước 7.2.10

Nhân $2$ với $343$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{686}{3})$

Bước 7.2.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$20 p \frac{1024 - 686}{3}$

Bước 7.2.12

Trừ $686$ khỏi $1024$ .

$20 p \frac{338}{3}$

Bước 7.2.13

Kết hợp $20$ và $\frac{338}{3}$ .

$p \frac{20 \cdot 338}{3}$

Bước 7.2.14

Nhân $20$ với $338$ .

$p \frac{6760}{3}$

Bước 7.2.15

Kết hợp $p$ và $\frac{6760}{3}$ .

$\frac{p \cdot 6760}{3}$

Bước 7.2.16

Di chuyển $6760$ sang phía bên trái của $p$ .

$\frac{6760 p}{3}$

Bước 8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{6760}{3} p$

Bước 9

Kết hợp $\frac{6760}{3}$ và $p$ .

$\frac{6760 p}{3}$

Bước 10