Giải tích Ví dụ

$\int 6 x^{5} e^{x} d x$

Bước 1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int x^{5} e^{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{5}$ và $d v = e^{x}$ .

$6 (x^{5} e^{x} - \int e^{x} (5 x^{4}) d x)$

Bước 3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$6 (x^{5} e^{x} - (5 \int e^{x} (x^{4}) d x))$

Bước 4

Nhân $5$ với $- 1$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 \int e^{x} (x^{4}) d x)$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{4}$ và $d v = e^{x}$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - \int e^{x} (4 x^{3}) d x))$

Bước 6

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - (4 \int e^{x} (x^{3}) d x)))$

Bước 7

Nhân $4$ với $- 1$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 \int e^{x} (x^{3}) d x))$

Bước 8

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{3}$ và $d v = e^{x}$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x)))$

Bước 9

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x))))$

Bước 10

Nhân $3$ với $- 1$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x)))$

Bước 11

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = e^{x}$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x))))$

Bước 12

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x)))))$

Bước 13

Nhân $2$ với $- 1$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x))))$

Bước 14

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)))))$

Bước 15

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))))))$

Bước 16

Viết lại $6 (x^{5} e^{x} - 5 (x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))))))$ ở dạng $6 (x^{5} e^{x} - 5 x^{4} e^{x} + 20 x^{3} e^{x} - 60 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} - 120 e^{x}) + C$ .

$6 (x^{5} e^{x} - 5 x^{4} e^{x} + 20 x^{3} e^{x} - 60 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} - 120 e^{x}) + C$