Giải tích Ví dụ

$\int 625 x^{3} e^{5 x} d x$

Bước 1

Vì $625$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $625$ ra khỏi tích phân.

$625 \int x^{3} e^{5 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{3}$ và $d v = e^{5 x}$ .

$625 (x^{3} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $e^{5 x}$ .

$625 (x^{3} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x)$

Bước 3.2

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x)$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (3 x^{2}) d x)$

Bước 3.4

Kết hợp $3$ và $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{3 e^{5 x}}{5} x^{2} d x)$

Bước 3.5

Kết hợp $\frac{3 e^{5 x}}{5}$ và $x^{2}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{3 e^{5 x} x^{2}}{5} d x)$

Bước 4

Vì $\frac{3}{5}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{3}{5}$ ra khỏi tích phân.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - (\frac{3}{5} \int e^{5 x} x^{2} d x))$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x))$

Bước 6.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x))$

Bước 6.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (2 x) d x))$

Bước 6.4

Kết hợp $2$ và $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x}}{5} x d x))$

Bước 6.5

Kết hợp $\frac{2 e^{5 x}}{5}$ và $x$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x} x}{5} d x))$

Bước 7

Vì $\frac{2}{5}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{2}{5}$ ra khỏi tích phân.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{2}{5} \int e^{5 x} x d x)))$

Bước 8

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)))$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)))$

Bước 9.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)))$

Bước 9.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x)))$

Bước 10

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x))))$

Bước 11

Giả sử $u = 5 x$ . Sau đó $d u = 5 d x$ , nên $\frac{1}{5} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u = 5 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 11.1.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Bước 11.1.4

Nhân $5$ với $1$ .

$5$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u)))$

Bước 12

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u)))$

Bước 13

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))))$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{1}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u)))$

Bước 14.2

Nhân $5$ với $5$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u)))$

Bước 15

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))))$

Bước 16

Viết lại $625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))))$ ở dạng $625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{u}}{625}) + C$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{u}}{625}) + C$

Bước 17

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$625 \frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Bước 18.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1.1

Đưa $5$ ra ngoài $625$ .

$5 (125) \frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Bước 18.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \cdot 125 \frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Bước 18.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Bước 18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}$ vào tử số.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 625 \frac{- 3 x^{2} e^{5 x}}{25} + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Bước 18.2.2.2

Đưa $25$ ra ngoài $625$ .

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 25 (25) \frac{- 3 x^{2} e^{5 x}}{25} + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Bước 18.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 25 \cdot 25 \frac{- 3 x^{2} e^{5 x}}{25} + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Bước 18.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 25 (- 3 x^{2} e^{5 x}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Bước 18.2.3

Nhân $- 3$ với $25$ .

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Bước 18.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $125$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.4.1

Đưa $125$ ra ngoài $625$ .

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 125 (5) \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Bước 18.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 125 \cdot 5 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Bước 18.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 5 (6 x e^{5 x}) + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Bước 18.2.5

Nhân $6$ với $5$ .

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Bước 18.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $625$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{6 e^{5 x}}{625}$ vào tử số.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) + 625 \frac{- 6 e^{5 x}}{625} + C$

Bước 18.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) + 625 \frac{- 6 e^{5 x}}{625} + C$

Bước 18.2.6.3

Viết lại biểu thức.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) - 6 e^{5 x} + C$

Bước 18.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$125 x^{3} e^{5 x} - 75 x^{2} e^{5 x} + 30 x e^{5 x} - 6 e^{5 x} + C$