Giải tích Ví dụ

$\int 81 x^{3} e^{3 x} d x$

Bước 1

Vì $81$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $81$ ra khỏi tích phân.

$81 \int x^{3} e^{3 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{3}$ và $d v = e^{3 x}$ .

$81 (x^{3} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (3 x^{2}) d x)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3 x}$ .

$81 (x^{3} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (3 x^{2}) d x)$

Bước 3.2

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (3 x^{2}) d x)$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} (3 x^{2}) d x)$

Bước 3.4

Kết hợp $3$ và $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{3 e^{3 x}}{3} x^{2} d x)$

Bước 3.5

Kết hợp $\frac{3 e^{3 x}}{3}$ và $x^{2}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{3 e^{3 x} x^{2}}{3} d x)$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{3 e^{3 x} x^{2}}{3} d x)$

Bước 3.6.2

Chia $e^{3 x} x^{2}$ cho $1$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int e^{3 x} x^{2} d x)$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (x^{2} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (x^{2} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x))$

Bước 5.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x))$

Bước 5.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} (2 x) d x))$

Bước 5.4

Kết hợp $2$ và $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x}}{3} x d x))$

Bước 5.5

Kết hợp $\frac{2 e^{3 x}}{3}$ và $x$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x} x}{3} d x))$

Bước 6

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{2}{3}$ ra khỏi tích phân.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 x} x d x)))$

Bước 7

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)))$

Bước 8.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)))$

Bước 8.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)))$

Bước 9

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))))$

Bước 10

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 10.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)))$

Bước 11

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)))$

Bước 12

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))))$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)))$

Bước 13.2

Nhân $3$ với $3$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)))$

Bước 14

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))))$

Bước 15

Viết lại $81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))))$ ở dạng $81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{2 x e^{3 x}}{9} - \frac{2 e^{u}}{27}) + C$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{2 x e^{3 x}}{9} - \frac{2 e^{u}}{27}) + C$

Bước 16

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{2 x e^{3 x}}{9} - \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$81 \frac{x^{3} e^{3 x}}{3} + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Bước 17.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $81$ .

$3 (27) \frac{x^{3} e^{3 x}}{3} + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Bước 17.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \cdot 27 \frac{x^{3} e^{3 x}}{3} + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Bước 17.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Bước 17.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}$ vào tử số.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 81 \frac{- x^{2} e^{3 x}}{3} + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Bước 17.2.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $81$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 3 (27) \frac{- x^{2} e^{3 x}}{3} + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Bước 17.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 3 \cdot 27 \frac{- x^{2} e^{3 x}}{3} + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Bước 17.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 27 (- x^{2} e^{3 x}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Bước 17.2.3

Nhân $- 1$ với $27$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Bước 17.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.4.1

Đưa $9$ ra ngoài $81$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 9 (9) \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Bước 17.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 9 \cdot 9 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Bước 17.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 9 (2 x e^{3 x}) + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Bước 17.2.5

Nhân $2$ với $9$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Bước 17.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2 e^{3 x}}{27}$ vào tử số.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 81 \frac{- 2 e^{3 x}}{27} + C$

Bước 17.2.6.2

Đưa $27$ ra ngoài $81$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 27 (3) \frac{- 2 e^{3 x}}{27} + C$

Bước 17.2.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 27 \cdot 3 \frac{- 2 e^{3 x}}{27} + C$

Bước 17.2.6.4

Viết lại biểu thức.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 3 (- 2 e^{3 x}) + C$

Bước 17.2.7

Nhân $- 2$ với $3$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) - 6 e^{3 x} + C$

Bước 17.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$27 x^{3} e^{3 x} - 27 x^{2} e^{3 x} + 18 x e^{3 x} - 6 e^{3 x} + C$