Giải tích Ví dụ

$\int_{4}^{9} 2 x \sqrt{x} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 1.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} 2 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

Bước 1.2.2

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{4}^{9} 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

Bước 1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

Bước 1.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

Bước 1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

Bước 1.2.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{4}^{9} x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9})$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{4}^{9})$

Bước 4.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Tính $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ tại $9$ và tại $4$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$2 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 4.2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 4.2.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{2 \cdot 3^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 4.2.2.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $5$ .

$2 (\frac{2 \cdot 243}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 4.2.2.5

Nhân $2$ với $243$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 4.2.2.6

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 4.2.2.7

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Bước 4.2.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Bước 4.2.2.8.2

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 2^{5}}{5})$

Bước 4.2.2.9

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 32}{5})$

Bước 4.2.2.10

Nhân $2$ với $32$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{64}{5})$

Bước 4.2.2.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{486 - 64}{5}$

Bước 4.2.2.12

Trừ $64$ khỏi $486$ .

$2 (\frac{422}{5})$

Bước 4.2.2.13

Kết hợp $2$ và $\frac{422}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 422}{5}$

Bước 4.2.2.14

Nhân $2$ với $422$ .

$\frac{844}{5}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{844}{5}$

Dạng thập phân:

$168.8$

Dạng hỗn số:

$168 \frac{4}{5}$

Bước 6