Giải tích Ví dụ

$\int 4 e^{2 x} + \frac{1}{x^{5}} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 4 e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Bước 2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Bước 3

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$4 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Bước 4

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{4}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Bước 6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Bước 6.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Bước 7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C) + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Bước 8

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển $x^{5}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$2 (e^{u} + C) + \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Bước 8.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (e^{u} + C) + \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Bước 8.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$2 (e^{u} + C) + \int x^{- 5} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 5}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$2 (e^{u} + C) - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$2 e^{u} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}} + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $\frac{1}{x^{4}}$ với $\frac{1}{4}$ .

$2 e^{u} - \frac{1}{x^{4} \cdot 4} + C$

Bước 10.2.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$2 e^{u} - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$2 e^{2 x} - \frac{1}{4 x^{4}} + C$