Giải tích Ví dụ

$\int_{4}^{9} \frac{x - \sqrt{x}}{x^{3}} d x$

Bước 1

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Bước 2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) x^{3 \cdot - 1} d x$

Bước 2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) x^{- 3} d x$

Bước 3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} (x - x^{\frac{1}{2}}) x^{- 3} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{4}^{9} x \cdot x^{- 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Bước 4.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{1} x^{- 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Bước 4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{4}^{9} x^{1 - 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Bước 4.4

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Bước 4.5

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}) d x$

Bước 4.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} - 3} d x$

Bước 4.7

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Bước 4.8

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}} d x$

Bước 4.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1 - 3 \cdot 2}{2}} d x$

Bước 4.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1

Nhân $- 3$ với $2$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1 - 6}{2}} d x$

Bước 4.10.2

Trừ $6$ khỏi $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{- 5}{2}} d x$

Bước 5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} d x + \int_{4}^{9} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} + \int_{4}^{9} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} x^{- \frac{5}{2}} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{5}{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Kết hợp $x^{- \frac{3}{2}}$ và $\frac{2}{3}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{x^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3}]_{4}^{9})$

Bước 10.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2 \cdot x^{- \frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9})$

Bước 10.1.3

Di chuyển $x^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}]_{4}^{9})$

Bước 10.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Tính $- x^{- 1}$ tại $9$ và tại $4$ .

$(- 9^{- 1}) + 4^{- 1} - (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}]_{4}^{9})$

Bước 10.2.2

Tính $- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ tại $9$ và tại $4$ .

$(- 9^{- 1}) + 4^{- 1} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} + 4^{- 1} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{4} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.3

Để viết $- \frac{1}{9}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.4

Để viết $\frac{1}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $36$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.5.1

Nhân $\frac{1}{9}$ với $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.5.2

Nhân $9$ với $4$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.5.3

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.5.4

Nhân $4$ với $9$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{9}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 4 + 9}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.7

Cộng $- 4$ và $9$ .

$\frac{5}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.8

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.9

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.10.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{3}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.11

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 27} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.12

Nhân $3$ với $27$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.13

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}})$

Bước 10.2.3.14

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}})$

Bước 10.2.3.15

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.15.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}})$

Bước 10.2.3.15.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{3}})$

Bước 10.2.3.16

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 8})$

Bước 10.2.3.17

Nhân $3$ với $8$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{24})$

Bước 10.2.3.18

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 (1)}{24})$

Bước 10.2.3.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.18.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $24$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12})$

Bước 10.2.3.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12})$

Bước 10.2.3.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{1}{12})$

Bước 10.2.3.19

Để viết $- \frac{2}{81}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{12})$

Bước 10.2.3.20

Để viết $\frac{1}{12}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{27}{27}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Bước 10.2.3.21

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $324$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.21.1

Nhân $\frac{2}{81}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{81 \cdot 4} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Bước 10.2.3.21.2

Nhân $81$ với $4$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Bước 10.2.3.21.3

Nhân $\frac{1}{12}$ với $\frac{27}{27}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{27}{12 \cdot 27})$

Bước 10.2.3.21.4

Nhân $12$ với $27$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{27}{324})$

Bước 10.2.3.22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5}{36} - \frac{- 2 \cdot 4 + 27}{324}$

Bước 10.2.3.23

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.23.1

Nhân $- 2$ với $4$ .

$\frac{5}{36} - \frac{- 8 + 27}{324}$

Bước 10.2.3.23.2

Cộng $- 8$ và $27$ .

$\frac{5}{36} - \frac{19}{324}$

Bước 10.2.3.24

Để viết $\frac{5}{36}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{5}{36} \cdot \frac{9}{9} - \frac{19}{324}$

Bước 10.2.3.25

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $324$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.25.1

Nhân $\frac{5}{36}$ với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{5 \cdot 9}{36 \cdot 9} - \frac{19}{324}$

Bước 10.2.3.25.2

Nhân $36$ với $9$ .

$\frac{5 \cdot 9}{324} - \frac{19}{324}$

Bước 10.2.3.26

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5 \cdot 9 - 19}{324}$

Bước 10.2.3.27

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.27.1

Nhân $5$ với $9$ .

$\frac{45 - 19}{324}$

Bước 10.2.3.27.2

Trừ $19$ khỏi $45$ .

$\frac{26}{324}$

Bước 10.2.3.28

Triệt tiêu thừa số chung của $26$ và $324$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.28.1

Đưa $2$ ra ngoài $26$ .

$\frac{2 (13)}{324}$

Bước 10.2.3.28.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.28.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $324$ .

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 162}$

Bước 10.2.3.28.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 162}$

Bước 10.2.3.28.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{13}{162}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{13}{162}$

Dạng thập phân:

$0.08024691 \dots$

Bước 12