Giải tích Ví dụ

$\int 4 x^{2} e^{2 x} d x$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int x^{2} e^{2 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = e^{2 x}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$4 (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

Bước 3.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x)$

Bước 3.4

Kết hợp $2$ và $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x)$

Bước 3.5

Kết hợp $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ và $x$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x)$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x)$

Bước 3.6.2

Chia $e^{2 x} x$ cho $1$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x)$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

Bước 5.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

Bước 5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x))$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)))$

Bước 7

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 7.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u))$

Bước 8

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u))$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Bước 11

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$

Bước 12

Viết lại $4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$ ở dạng $4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) + C$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{x e^{2 x}}{2}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Bước 14.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (2) \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{x e^{2 x}}{2}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Bước 14.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2 \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{x e^{2 x}}{2}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Bước 14.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$2 (x^{2} e^{2 x}) + 4 (- \frac{x e^{2 x}}{2}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Bước 14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x e^{2 x}}{2}$ vào tử số.

$2 (x^{2} e^{2 x}) + 4 \frac{- x e^{2 x}}{2} + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Bước 14.2.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (x^{2} e^{2 x}) + 2 (2) \frac{- x e^{2 x}}{2} + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Bước 14.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (x^{2} e^{2 x}) + 2 \cdot 2 \frac{- x e^{2 x}}{2} + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Bước 14.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$2 (x^{2} e^{2 x}) + 2 (- x e^{2 x}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Bước 14.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 (x^{2} e^{2 x}) - 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Bước 14.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (x^{2} e^{2 x}) - 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Bước 14.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 (x^{2} e^{2 x}) - 2 (x e^{2 x}) + e^{2 x} + C$

Bước 14.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + C$