Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{16 x^{2} - 9}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \frac{3}{4} \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4}$ dương.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 {(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{16 {(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 {(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3 \sec (t)}{4}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.1.1.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.1.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.1.1.4

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.1.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.1.3

Đưa $9$ ra ngoài $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.1.4

Đưa $9$ ra ngoài $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $9 \tan^{2} (t)$ ở dạng ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} (3 \tan (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.2.1.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{3 {(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.2.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3 \sec (t)}{4}$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.2.3.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.2.3.3

Kết hợp $3$ và $\frac{9 \sec^{2} (t)}{16}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 (9 \sec^{2} (t))}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.2.3.4

Nhân $9$ với $3$ .

$\int \frac{1}{\frac{27 \sec^{2} (t)}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.2.3.5

Kết hợp $\frac{27 \sec^{2} (t)}{16}$ và $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}{16}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.2.3.6

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}{16}$ .

$\int 1 \frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.2.3.7

Nhân $\frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}$ với $1$ .

$\int \frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Bước 2.2.3.8

Nhân $\frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}$ với $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4}$ .

$\int \frac{16 (3 \sec (t) \tan (t))}{27 \sec^{2} (t) \tan (t) \cdot 4} d t$

Bước 2.2.3.9

Nhân $3$ với $16$ .

$\int \frac{48 (\sec (t) \tan (t))}{27 \sec^{2} (t) \tan (t) \cdot 4} d t$

Bước 2.2.3.10

Nhân $4$ với $27$ .

$\int \frac{48 (\sec (t) \tan (t))}{108 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Bước 2.2.3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $48$ và $108$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.11.1

Đưa $12$ ra ngoài $48 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{108 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Bước 2.2.3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.11.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $108 \sec^{2} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{12 (9 \sec^{2} (t) \tan (t))} d t$

Bước 2.2.3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{12 (9 \sec^{2} (t) \tan (t))} d t$

Bước 2.2.3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{4 \sec (t) \tan (t)}{9 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Bước 2.2.3.12

Triệt tiêu thừa số chung của $\sec (t)$ và $\sec^{2} (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.12.1

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $4 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{9 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Bước 2.2.3.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.12.2.1

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $9 \sec^{2} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{\sec (t) (9 \sec (t) \tan (t))} d t$

Bước 2.2.3.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{\sec (t) (9 \sec (t) \tan (t))} d t$

Bước 2.2.3.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{4 \tan (t)}{9 \sec (t) \tan (t)} d t$

Bước 2.2.3.13

Triệt tiêu thừa số chung $\tan (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.13.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{4 \tan (t)}{9 \sec (t) \tan (t)} d t$

Bước 2.2.3.13.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{4}{9 \sec (t)} d t$

Bước 3

Vì $\frac{4}{9}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{4}{9}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $\sec (t)$ theo sin và cosin.

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Bước 4.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{4}{9} \int 1 \cos (t) d t$

Bước 4.3

Nhân $\cos (t)$ với $1$ .

$\frac{4}{9} \int \cos (t) d t$

Bước 5

Tích phân của $\cos (t)$ đối với $t$ là $\sin (t)$ .

$\frac{4}{9} (\sin (t) + C)$

Bước 6

Rút gọn.

$\frac{4}{9} \sin (t) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $arcsec (\frac{4 x}{3})$ .

$\frac{4}{9} \sin (arcsec (\frac{4 x}{3})) + C$

Bước 8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4}{9} \sin (arcsec (\frac{4}{3} x)) + C$