Giải tích Ví dụ

$\int {(36 - 9 x^{2})}^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{1}{{(36 - 9 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 2

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 9 x^{2})}^{3}}} d x$

Bước 3

Giả sử $x = 2 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 2 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $2 \cos (t)$ dương.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 9 {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn $\sqrt{{(36 - 9 {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 9 (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 9 (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.1.3

Nhân $4$ với $- 9$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 36 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.2

Đưa $36$ ra ngoài $36$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 (1) - 36 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.3

Đưa $36$ ra ngoài $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.4

Đưa $36$ ra ngoài $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $36 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{36^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.7

Nâng $36$ lên lũy thừa $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{46656 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.8

Nhân các số mũ trong ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.8.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{46656 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.8.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{46656 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.9

Viết lại $46656 \cos^{6} (t)$ ở dạng ${(216 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(216 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.10

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{216 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 \cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $2 \cos (t)$ ra ngoài $216 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \cos (t) (108 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) (108 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{108 \cos^{2} (t)} d t$

Bước 5

Vì $\frac{1}{108}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{108}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{108} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Bước 6

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ sang $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{108} \int \sec^{2} (t) d t$

Bước 7

Vì đạo hàm của $\tan (t)$ là $\sec^{2} (t)$ , tích phân của $\sec^{2} (t)$ là $\tan (t)$ .

$\frac{1}{108} (\tan (t) + C)$

Bước 8

Rút gọn.

$\frac{1}{108} \tan (t) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{108} \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

Bước 10

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{108} \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$