Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

Bước 1.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 2 x^{3}$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2}} d x$

Bước 1.1.3

Nhân với $1$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

Bước 1.1.4

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

Bước 1.1.5

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} d x$

Bước 1.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2})} d x$

Bước 1.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Bước 1.2.3

Viết lại đa thức này.

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})} d x$

Bước 1.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} {(x - 1)}^{2}} d x$

Bước 1.3

Viết lại $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ ở dạng ${(x (x - 1))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(x (x - 1))}^{2}} d x$

Bước 1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int x (x - 1) d x$

Bước 1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x \cdot x + x \cdot - 1 d x$

Bước 1.6

Nhân $x$ với $x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 d x$

Bước 1.7

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot x d x$

Bước 1.8

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\int x^{2} - x d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{2} d x + \int - x d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - x d x$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C$