Giải tích Ví dụ

$F i n d \int x \sin (2 x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (2 x)$ .

$F i n d (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$F i n d (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Bước 2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$F i n d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Bước 2.3

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$F i n d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$F i n d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$F i n d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Bước 4.2

Nhân $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ với $1$ .

$F i n d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$F i n d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Bước 6

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 6.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$F i n d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 7

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$F i n d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$F i n d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$F i n d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

Bước 9.2

Nhân $2$ với $2$ .

$F i n d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Bước 10

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$F i n d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Viết lại $F i n d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ ở dạng $F i n d (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ .

$F i n d (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2}$ .

$F i n d (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Bước 11.2.2

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{x}{2}$ .

$F i n d (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Bước 11.2.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\sin (u)$ .

$F i n d (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$F i n d (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$F i n d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Bước 13.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$F i n d (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x)) + C$