Giải tích Ví dụ

$9800 \int_{- 5}^{0} (- y) (2 \sqrt{25 - y^{2}}) d y$

Bước 1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$9800 \int_{- 5}^{0} - 2 y \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Bước 2

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$9800 (- 2 \int_{- 5}^{0} y \sqrt{25 - y^{2}} d y)$

Bước 3

Nhân $- 2$ với $9800$ .

$- 19600 \int_{- 5}^{0} y \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Bước 4

Giả sử $u = 25 - y^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 y d y$ , nên $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 25 - y^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $25 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [25 - y^{2}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $25 - y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [25] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [25] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 4.1.2.2

Vì $25$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $25$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 y)$

Bước 4.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 y$

Bước 4.1.4

Trừ $2 y$ khỏi $0$ .

$- 2 y$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $y$ trong $u = 25 - y^{2}$ .

$u_{lower} = 25 - {(- 5)}^{2}$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{lower} = 25 - 1 \cdot 25$

Bước 4.3.1.2

Nhân $- 1$ với $25$ .

$u_{lower} = 25 - 25$

Bước 4.3.2

Trừ $25$ khỏi $25$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $y$ trong $u = 25 - y^{2}$ .

$u_{upper} = 25 - 0^{2}$

Bước 4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{upper} = 25 - 0$

Bước 4.5.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{upper} = 25 + 0$

Bước 4.5.2

Cộng $25$ và $0$ .

$u_{upper} = 25$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 25$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$- 19600 \int_{0}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 19600 \int_{0}^{25} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 5.2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- 19600 \int_{0}^{25} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- 19600 (- \int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Bước 7

Nhân $- 1$ với $- 19600$ .

$19600 \int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$19600 (\frac{1}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u)$

Bước 9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $19600$ .

$\frac{19600}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Bước 9.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $19600$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $19600$ .

$\frac{2 \cdot 9800}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Bước 9.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 9800}{2 (1)} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Bước 9.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 9800}{2 \cdot 1} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Bước 9.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9800}{1} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Bước 9.1.2.2.4

Chia $9800$ cho $1$ .

$9800 \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Bước 9.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$9800 \int_{0}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$9800 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{25})$

Bước 11

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $u^{\frac{3}{2}}$ .

$9800 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{25})$

Bước 12

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ tại $25$ và tại $0$ .

$9800 ((\frac{2 \cdot 25^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$9800 (\frac{2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 12.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 12.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 12.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 12.2.4

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$9800 (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 12.2.5

Nhân $2$ với $125$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 12.2.6

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 12.2.7

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Bước 12.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Bước 12.2.8.2

Viết lại biểu thức.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Bước 12.2.9

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Bước 12.2.10

Nhân $2$ với $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{0}{3})$

Bước 12.2.11

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.11.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Bước 12.2.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.11.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 12.2.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 12.2.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{0}{1})$

Bước 12.2.11.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$9800 (\frac{250}{3} - 0)$

Bước 12.2.12

Nhân $- 1$ với $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} + 0)$

Bước 12.2.13

Cộng $\frac{250}{3}$ và $0$ .

$9800 (\frac{250}{3})$

Bước 12.2.14

Kết hợp $9800$ và $\frac{250}{3}$ .

$\frac{9800 \cdot 250}{3}$

Bước 12.2.15

Nhân $9800$ với $250$ .

$\frac{2450000}{3}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2450000}{3}$

Dạng thập phân:

$816666.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$816666 \frac{2}{3}$

Bước 14