Giải tích Ví dụ

$\int \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \sin (2 x) d x + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Bước 3

Kết hợp $\sin (u_{1})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Bước 5

Tích phân của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = 2 x$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 6.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 7

Kết hợp $\cos^{2} (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Bước 9

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (u_{2})$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2}$

Bước 10

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Bước 11.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Bước 12

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Bước 13

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Bước 14

Giả sử $u_{3} = 2 u_{2}$ . Sau đó $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Hãy đặt $u_{3} = 2 u_{2}$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Bước 14.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , nên đạo hàm của $2 u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Bước 14.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 14.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 14.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3})$

Bước 15

Kết hợp $\cos (u_{3})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Bước 16

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3})$

Bước 17

Tích phân của $\cos (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C))$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Rút gọn.

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Bước 18.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Để viết $\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3}))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 18.2.2

Kết hợp $\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3}))$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot 2}{2} + C$

Bước 18.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot 2}{2} + C$

Bước 18.2.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (u_{3})$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 18.2.5

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Bước 18.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 (1)}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Bước 18.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Bước 18.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Bước 18.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Bước 19

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Bước 19.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Bước 19.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 u_{2}$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (2 u_{2})}{2})}{2} + C$

Bước 19.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2})}{2} + C$

Bước 20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (4 x)}{2})}{2} + C$

Bước 20.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Bước 20.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Bước 20.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Bước 20.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Bước 20.4

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Bước 20.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Bước 21

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos (2 x)$ .

$\frac{- (\cos (2 x)) + x + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Bước 21.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $x$ .

$\frac{- (\cos (2 x)) - 1 (- x) + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Bước 21.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\cos (2 x)) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (\cos (2 x) - x) + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Bước 21.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{- (\cos (2 x) - x) - \frac{- \sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Bước 21.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\cos (2 x) - x) - \frac{- \sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{- (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})}{2} + C$

Bước 21.6

Viết lại $- (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})$ ở dạng $- 1 (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})$ .

$\frac{- 1 (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})}{2} + C$

Bước 21.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Bước 21.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{\cos (2 x) - x - \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Bước 21.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{2} (\cos (2 x) - x - \frac{1}{4} \sin (4 x)) + C$