Giải tích Ví dụ

$\int_{π}^{3 π} \cot^{2} (\frac{x}{6}) d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{x}{6}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{6} d x$ , nên $6 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{6}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{6}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{1}{6}$ với $1$ .

$\frac{1}{6}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \frac{x}{6}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Bước 1.3

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \frac{x}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{6}$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 (π)}{6}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Bước 1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Bước 1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 1.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 1.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{6}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) (1 \cdot 6) d u$

Bước 2.2

Nhân $6$ với $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \cdot 6 d u$

Bước 2.3

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\cot^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 6 \cot^{2} (u) d u$

Bước 3

Vì $6$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) d u$

Bước 4

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cot^{2} (u)$ ở dạng $- 1 + \csc^{2} (u)$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (u) d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$6 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

Bước 7

Vì đạo hàm của $- \cot (u)$ là $\csc^{2} (u)$ , tích phân của $\csc^{2} (u)$ là $- \cot (u)$ .

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Bước 8

Kết hợp $- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ và $- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$6 (- u - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Bước 9

Tính $- u - \cot (u)$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $\frac{π}{6}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Bước 10.2

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{6})$ là $\sqrt{3}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Bước 10.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Bước 10.4

Cộng $- \frac{π}{2}$ và $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Bước 10.5

Để viết $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

Bước 10.6

Kết hợp $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ và $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

Bước 10.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

Bước 10.8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$6 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

Bước 10.9

Kết hợp $6$ và $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ .

$\frac{6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Bước 10.10

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Bước 10.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 (1)}$

Bước 10.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 \cdot 1}$

Bước 10.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{1}$

Bước 10.10.2.4

Chia $3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ cho $1$ .

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6}) - 2 (- \sqrt{3}))$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{6}$ vào tử số.

$3 (- π - 2 \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

Bước 11.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$3 (- π + 2 (- 1) \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

Bước 11.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Bước 11.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Bước 11.2.5

Viết lại biểu thức.

$3 (- π - \frac{- π}{3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Bước 11.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$3 (- π - \frac{- π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Bước 11.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 (- π - - \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Bước 11.5

Nhân $- - \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$3 (- π + 1 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Bước 11.5.2

Nhân $\frac{π}{3}$ với $1$ .

$3 (- π + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Bước 11.6

Để viết $- π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$3 (- π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Bước 11.7

Kết hợp $- π$ và $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Bước 11.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 (\frac{- π \cdot 3 + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Bước 11.9

Nhân $3$ với $- 1$ .

$3 (\frac{- 3 π + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Bước 11.10

Cộng $- 3 π$ và $π$ .

$3 (\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Bước 11.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 (- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Bước 11.12

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (- \frac{2 π}{3}) + 3 (2 \sqrt{3})$

Bước 11.13

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.13.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2 π}{3}$ vào tử số.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

Bước 11.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

Bước 11.13.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 π + 3 (2 \sqrt{3})$

Bước 11.14

Nhân $2$ với $3$ .

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

Dạng thập phân:

$4.10911953 \dots$