Giải tích Ví dụ

$\int y {(y^{4} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $y^{4}$ ở dạng ${(y^{2})}^{2}$ .

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Bước 1.1.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot y$

Bước 1.1.3

Viết lại đa thức này.

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Bước 1.1.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = y^{2}$ và $b = y$ .

$\int y {({(y^{2} - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

Bước 1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\int y {(y^{2} - y)}^{1} d y$

Bước 1.4

Rút gọn.

$\int y (y^{2} - y) d y$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int y \cdot y^{2} + y (- y) d y$

Bước 2.2

Sắp xếp lại $y$ và $- 1$ .

$\int y \cdot y^{2} - 1 \cdot y \cdot y d y$

Bước 2.3

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int y^{1} y^{2} - 1 y \cdot y d y$

Bước 2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int y^{1 + 2} - 1 y \cdot y d y$

Bước 2.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\int y^{3} - 1 y \cdot y d y$

Bước 2.6

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int y^{3} - (y \cdot y) d y$

Bước 2.7

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y) d y$

Bước 2.8

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y^{1}) d y$

Bước 2.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int y^{3} - y^{1 + 1} d y$

Bước 2.10

Cộng $1$ và $1$ .

$\int y^{3} - y^{2} d y$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{3}$ đối với $y$ là $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C + \int - y^{2} d y$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} y^{4} + C - \int y^{2} d y$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C$