Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{5 \int_{0}^{5} 5.3 \sin^{2} (w t) d t}$

Bước 1

Vì $5.3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $5.3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5 (5.3 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t)}$

Bước 2

Nhân $5.3$ với $5$ .

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t}$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = w t$ . Sau đó $d u_{1} = w d t$ , nên $\frac{1}{w} d u_{1} = d t$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = w t$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $w t$ .

$\frac{d}{d t} [w t]$

Bước 3.1.2

Vì $w$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $w t$ đối với $t$ là $w \frac{d}{d t} [t]$ .

$w \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$w \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $w$ với $1$ .

$w$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u_{1} = w t$ .

$u_{lower} = w \cdot 0$

Bước 3.3

Nhân $w$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u_{1} = w t$ .

$u_{upper} = w \cdot 5$

Bước 3.5

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $w$ .

$u_{upper} = 5 w$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5 w$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{w} d u_{1}}$

Bước 4

Kết hợp $\sin^{2} (u_{1})$ và $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{w} d u_{1}}$

Bước 5

Vì $\frac{1}{w}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{w}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{26.5 (\frac{1}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})}$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{w}$ và $26.5$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}}$

Bước 7

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (u_{1})$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}}$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} (\frac{1}{2} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Bước 9

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{26.5}{w}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}}$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (\int_{0}^{5 w} d u_{1} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{5 w} \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Bước 13

Giả sử $u_{2} = 2 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 13.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 13.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 13.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 13.2

Thay giới hạn dưới vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 13.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 13.4

Thay giới hạn trên vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (5 w)$

Bước 13.5

Nhân $5$ với $2$ .

$u_{upper} = 10 w$

Bước 13.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10 w$

Bước 13.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})}$

Bước 14

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})}$

Bước 15

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) d u_{2}))}$

Bước 16

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{10 w})}$

Bước 17

Kết hợp $\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

Bước 18

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Tính $u_{1}$ tại $5 w$ và tại $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

Bước 18.2

Tính $\sin (u_{2})$ tại $10 w$ và tại $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{(\sin (10 w)) - \sin (0)}{2})}$

Bước 18.3

Cộng $5 w$ và $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - \sin (0)}{2})}$

Bước 19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - 0}{2})}$

Bước 19.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) + 0}{2})}$

Bước 19.3

Cộng $\sin (10 w)$ và $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Bước 20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Đưa $26.5$ ra ngoài $26.5$ .

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Bước 20.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 w$ .

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 (w)} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Bước 20.3

Tách các phân số.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2} \cdot \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Bước 20.4

Chia $26.5$ cho $2$ .

$\frac{1}{13.25 \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Bước 20.5

Kết hợp $13.25$ và $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Bước 20.6

Đưa $\frac{13.25}{w}$ ra ngoài $\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$ .

$\frac{w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Bước 20.7

Nhân với $1$ .

$\frac{1 w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Bước 20.8

Đưa $13.25$ ra ngoài $13.25$ .

$\frac{1 w}{13.25 (1)} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Bước 20.9

Tách các phân số.

$\frac{1}{13.25} \cdot \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Bước 20.10

Chia $1$ cho $13.25$ .

$0.07547169 \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Bước 20.11

Chia $w$ cho $1$ .

$0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Bước 20.12

Nhân $0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.12.1

Kết hợp $0.07547169$ và $\frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

$w \frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Bước 20.12.2

Kết hợp $w$ và $\frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

$\frac{w \cdot 0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Bước 20.13

Di chuyển $0.07547169$ sang phía bên trái của $w$ .

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Bước 20.14

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{1}{2} \sin (10 w)}$

Bước 21

Kết hợp $\sin (10 w)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$