Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{8} (1 - x) e^{- x} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = 1 - x$ và $d v = e^{- x}$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} - e^{- x} \cdot - 1 d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} 1 e^{- x} d x$

Bước 2.2

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} e^{- x} d x$

Bước 3

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Bước 3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 8$

Bước 3.5

Nhân $- 1$ với $8$ .

$u_{upper} = - 8$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 8$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{- 1}^{- 8} - e^{u} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - - \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + 1 \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

Bước 5.2

Nhân $\int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$ với $1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

Bước 6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + e^{u}]_{- 1}^{- 8}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $(1 - x) (- e^{- x})$ tại $8$ và tại $1$ .

$((1 - 1 \cdot 8) (- e^{- 1 \cdot 8})) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + e^{u}]_{- 1}^{- 8}$

Bước 7.2

Tính $e^{u}$ tại $- 8$ và tại $- 1$ .

$((1 - 1 \cdot 8) (- e^{- 1 \cdot 8})) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$(1 - 8) (- e^{- 1 \cdot 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Bước 7.3.2

Trừ $8$ khỏi $1$ .

$- 7 (- e^{- 1 \cdot 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Bước 7.3.3

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 7 (- e^{- 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Bước 7.3.4

Nhân $- 1$ với $- 7$ .

$7 e^{- 8} - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Bước 7.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$7 e^{- 8} - (1 - 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Bước 7.3.6

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$7 e^{- 8} - 0 (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Bước 7.3.7

Nhân $- 1$ với $0$ .

$7 e^{- 8} + 0 (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Bước 7.3.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$7 e^{- 8} + 0 (- e^{- 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Bước 7.3.9

Nhân $- 1$ với $0$ .

$7 e^{- 8} + 0 e^{- 1} + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Bước 7.3.10

Nhân $0$ với $e^{- 1}$ .

$7 e^{- 8} + 0 + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Bước 7.3.11

Cộng $7 e^{- 8}$ và $0$ .

$7 e^{- 8} + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Bước 7.3.12

Cộng $7 e^{- 8}$ và $e^{- 8}$ .

$8 e^{- 8} - e^{- 1}$

Bước 8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{e^{8}} - e^{- 1}$

Bước 8.2

Kết hợp $8$ và $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{8}{e^{8}} - e^{- 1}$

Bước 8.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{e^{8}} - \frac{1}{e}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{8}{e^{8}} - \frac{1}{e}$

Dạng thập phân:

$- 0.36519574 \dots$

Bước 10