Giải tích Ví dụ

$\int x^{3} \sqrt{1 + 25 x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \frac{1}{5} \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{\sec^{2} (t)}{5}$ dương.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{1 + 25 {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $\tan (t)$ .

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 {(\frac{\tan (t)}{5})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\tan (t)}{5}$ .

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{25}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{25}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Bước 2.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Bước 2.1.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Bước 2.1.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Bước 2.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Bước 2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $\tan (t)$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Bước 2.2.1.2

Kết hợp $\frac{\sec^{2} (t)}{5}$ và $\sec (t)$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{2} (t) \sec (t)}{5} d t$

Bước 2.2.1.3

Nhân $\sec^{2} (t)$ với $\sec (t)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1

Nhân $\sec^{2} (t)$ với $\sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1.1

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)}{5} d t$

Bước 2.2.1.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{{\sec (t)}^{2 + 1}}{5} d t$

Bước 2.2.1.3.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\tan (t)}{5}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{5^{3}} \cdot \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{125} \cdot \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

Bước 2.2.3.2

Nhân $\frac{\tan^{3} (t)}{125}$ với $\frac{\sec^{3} (t)}{5}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t) \sec^{3} (t)}{125 \cdot 5} d t$

Bước 2.2.3.3

Nhân $125$ với $5$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t) \sec^{3} (t)}{625} d t$

Bước 3

Vì $\frac{1}{625}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{625}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{625} \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Bước 4

Đưa $\tan^{2} (t)$ ra ngoài.

$\frac{1}{625} \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Bước 5

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{625} \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Bước 6

Giả sử $u = \sec (t)$ . Sau đó $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , nên $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = \sec (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Bước 6.1.2

Đạo hàm của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{625} \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Bước 7

Nhân $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\frac{1}{625} \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $- 1 u^{2}$ ở dạng $- u^{2}$ .

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 8.2

Nhân $u^{2}$ với $u^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Bước 8.2.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{4} d u$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{625} (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{625} (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Bước 13.1.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $u^{5}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Bước 13.2

Rút gọn.

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (t)$ .

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (5 x)$ .

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (5 x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (5 x))) + C$