Giải tích Ví dụ

$f (x) = \tan (x) \cos (x)$

Bước 1

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \tan (x + h) \cos (x + h)$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Viết lại $\tan (x + h) \cos (x + h)$ theo sin và cosin.

$f (x + h) = \frac{\sin (x + h)}{\cos (x + h)} \cdot \cos (x + h)$

Bước 2.1.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

Bước 2.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\sin (x + h)$ .

$\sin (x + h)$

Bước 2.2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h}$

Bước 4

Use a sum or difference formula on the numerator.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng công thức tính tổng cho sin để rút gọn biểu thức. Công thức nói rằng $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

Bước 4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

Bước 4.3

Nhân $- 1$ với $\sin (x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h}$

Bước 5

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.2

Chuyển số hạng $\sin (x)$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$\frac{\sin (x) lim_{h \to 0} \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.4

Chuyển số hạng $\cos (x)$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.5

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.6

Tính giới hạn của $\sin (x)$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.7.1

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.7.2

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.8.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.8.1.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.8.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.8.1.4

Nhân $\cos (x)$ với $0$ .

$\frac{\sin (x) + 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.8.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\sin (x) + 0 - \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.8.2.1

Cộng $\sin (x)$ và $0$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.2.8.2.2

Trừ $\sin (x)$ khỏi $\sin (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Bước 5.1.3

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 5.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 5.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)$ đối với $h$ là $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3

Tính $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Vì $\sin (x)$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $\sin (x) \cos (h)$ đối với $h$ là $\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.3.2

Đạo hàm của $\cos (h)$ đối với $h$ là $- \sin (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.4

Tính $\frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Vì $\cos (x)$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $\cos (x) \sin (h)$ đối với $h$ là $\cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.4.2

Đạo hàm của $\sin (h)$ đối với $h$ là $\cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.5

Vì $- \sin (x)$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $h$ là $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Cộng $\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)$ và $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{1}$

Bước 5.4

Chia $- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$ cho $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- lim_{h \to 0} \sin (h) \sin (x) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Bước 6.2

Chuyển số hạng $\sin (x)$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$- \sin (x) lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Bước 6.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Bước 6.4

Chuyển số hạng $\cos (x)$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \cos (h)$

Bước 6.5

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

Bước 7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

Bước 7.2

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (0)$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- \sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \cos (0)$

Bước 8.1.2

Nhân $- \sin (x) \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 \sin (x) + \cos (x) \cos (0)$

Bước 8.1.2.2

Nhân $0$ với $\sin (x)$ .

$0 + \cos (x) \cos (0)$

Bước 8.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 + \cos (x) \cdot 1$

Bước 8.1.4

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$0 + \cos (x)$

Bước 8.2

Cộng $0$ và $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 9