Giải tích Ví dụ

$y = x + \cos (2 x)$

Bước 1

Viết $y = x + \cos (2 x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x + \cos (2 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \cos (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Bước 2.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 2.1.2.1.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$f' (x) = 1 - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 2.1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 2.1.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 2.1.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \cdot 2$

Bước 2.1.2.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = 1 - 2 \sin (2 x)$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 2 \sin (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Bước 2.2.1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \sin (2 x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 2.2.2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 2.2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 2.2.2.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 2.2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Bước 2.2.2.5

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Bước 2.2.2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Bước 2.2.2.7

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

Bước 2.2.3

Trừ $4 \cos (2 x)$ khỏi $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- 4 \cos (2 x)$ .

$- 4 \cos (2 x)$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- 4 \cos (2 x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- 4 \cos (2 x) = 0$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $- 4 \cos (2 x) = 0$ cho $- 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 4 \cos (2 x) = 0$ cho $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $\cos (2 x)$ cho $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{- 4}$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Chia $0$ cho $- 4$ .

$\cos (2 x) = 0$

Bước 3.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$2 x = \arccos (0)$

Bước 3.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Bước 3.5

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 3.5.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 3.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 3.5.3.2

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 3.5.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 3.6

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 3.7

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 3.7.1.2

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 3.7.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 3.7.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 3.7.1.5

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Bước 3.7.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{3 π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{3 π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 3.7.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 3.7.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 3.7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 3.7.2.3.2

Nhân $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.3.2.1

Nhân $\frac{3 π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.2.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 3.8

Tìm chu kỳ của $\cos (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.8.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 3.8.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 3.8.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 3.8.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 3.9

Chu kỳ của hàm $\cos (2 x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.10

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $\frac{π}{4}$ trong $f (x) = x + \cos (2 x)$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{π}{4}))$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Bước 4.1.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Bước 4.1.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (\frac{π}{2})$

Bước 4.1.2.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + 0$

Bước 4.1.2.2

Cộng $\frac{π}{4}$ và $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4}$

Bước 4.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $\frac{π}{4}$ trong $f (x) = x + \cos (2 x)$ là $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{π}{4})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.68539816$ trong biểu thức.

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (2 (0.68539816))$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $2$ với $0.68539816$ .

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (1.37079632)$

Bước 6.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 4 \cos (1.37079632)$ .

$- 4 \cos (1.37079632)$

Bước 6.3

Tại $0.68539816$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.79467732$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, \frac{π}{4})$

Giảm trên $(- \infty, \frac{π}{4})$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{π}{4}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.88539816$ trong biểu thức.

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (2 (0.88539816))$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $2$ với $0.88539816$ .

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (1.77079632)$

Bước 7.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 4 \cos (1.77079632)$ .

$- 4 \cos (1.77079632)$

Bước 7.3

Tại $0.88539816$ , đạo hàm bậc hai là $0.79467732$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(\frac{π}{4}, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{π}{4}, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Bước 9