Giải tích Ví dụ

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{1 - x^{2}} d x$

Bước 1

Chia nhỏ tích phân tại $0$ và viết dưới dạng tổng của các giới hạn.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{1 - x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 1 - x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 1 - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 2.1.4

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

Bước 2.3

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 0^{2}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{upper} = 1 - 0$

Bước 2.4.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 2.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

$u_{upper} = 1$

Bước 2.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Bước 3.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} - \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{1 - t^{2}}^{1} \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} d u) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Bước 6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Bước 7

Kết hợp $e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}$ và $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $e^{u}$ tại $1$ và tại $1 - t^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{(e^{1}) - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Bước 8.2

Rút gọn.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Bước 9

Giả sử $u = 1 - x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u = 1 - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 9.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 9.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 9.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 9.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 9.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 9.1.4

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x$

Bước 9.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Bước 9.3.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 9.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 9.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Bước 9.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Bước 9.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 10.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 11

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \int_{1}^{1 - t^{2}} \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} d u)$

Bước 13

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$

Bước 14

Kết hợp $e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}}{2}$

Bước 15

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Tính $e^{u}$ tại $1 - t^{2}$ và tại $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{1 - t^{2}}) - e^{1}}{2}$

Bước 15.2

Rút gọn.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Bước 16

Tính các giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Bước 16.1.2

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} e - e^{1 - t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Bước 16.1.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Bước 16.1.4

Tính giới hạn của $e$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Bước 16.2

Vì số mũ $1 - t^{2}$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{1 - t^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Bước 16.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Bước 16.3.2

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - e$

Bước 16.3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - lim_{t \to \infty} e)$

Bước 16.4

Vì số mũ $1 - t^{2}$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{1 - t^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} e)$

Bước 16.5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.1

Tính giới hạn của $e$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - e)$

Bước 16.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.2.1.1

Trừ $0$ khỏi $e$ .

$- \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} (0 - e)$

Bước 16.5.2.1.2

Kết hợp $e$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (0 - e)$

Bước 16.5.2.1.3

Trừ $e$ khỏi $0$ .

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (- e)$

Bước 16.5.2.1.4

Nhân $- \frac{1}{2} (- e)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{e}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

Bước 16.5.2.1.4.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \frac{e}{2} + \frac{1}{2} e$

Bước 16.5.2.1.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e$ .

$- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}$

Bước 16.5.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- e + e}{2}$

Bước 16.5.2.3

Cộng $- e$ và $e$ .

$\frac{0}{2}$

Bước 16.5.2.4

Chia $0$ cho $2$ .

$0$