Giải tích Ví dụ

$V = 3 \sin (186 t) \cos (186 t)$ , $t = 0.002$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 \sin (186 t) \cos (186 t)$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [\sin (186 t) \cos (186 t)]$ .

$3 \frac{d}{d t} [\sin (186 t) \cos (186 t)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = \sin (186 t)$ và $g (t) = \cos (186 t)$ .

$3 (\sin (186 t) \frac{d}{d t} [\cos (186 t)] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \cos (t)$ và $g (t) = 186 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $186 t$ .

$3 (\sin (186 t) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [186 t]) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$3 (\sin (186 t) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [186 t]) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $186 t$ .

$3 (\sin (186 t) (- \sin (186 t) \frac{d}{d t} [186 t]) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Bước 4

Nâng $\sin (186 t)$ lên lũy thừa $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (186 t) \sin (186 t)) \frac{d}{d t} [186 t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Bước 5

Nâng $\sin (186 t)$ lên lũy thừa $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (186 t) \sin^{1} (186 t)) \frac{d}{d t} [186 t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 (- {\sin (186 t)}^{1 + 1} \frac{d}{d t} [186 t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $1$ và $1$ .

$3 (- \sin^{2} (186 t) \frac{d}{d t} [186 t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Bước 7.2

Vì $186$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $186 t$ đối với $t$ là $186 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 (- \sin^{2} (186 t) (186 \frac{d}{d t} [t]) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Bước 7.3

Nhân $186$ với $- 1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) \frac{d}{d t} [t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Bước 7.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) \cdot 1 + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Bước 7.5

Nhân $- 186$ với $1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \sin (t)$ và $g (t) = 186 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $186 t$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos (186 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [186 t]))$

Bước 8.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos (186 t) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [186 t]))$

Bước 8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $186 t$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos (186 t) (\cos (186 t) \frac{d}{d t} [186 t]))$

Bước 9

Nâng $\cos (186 t)$ lên lũy thừa $1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{1} (186 t) \cos (186 t) \frac{d}{d t} [186 t])$

Bước 10

Nâng $\cos (186 t)$ lên lũy thừa $1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{1} (186 t) \cos^{1} (186 t) \frac{d}{d t} [186 t])$

Bước 11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + {\cos (186 t)}^{1 + 1} \frac{d}{d t} [186 t])$

Bước 12

Cộng $1$ và $1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{2} (186 t) \frac{d}{d t} [186 t])$

Bước 13

Vì $186$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $186 t$ đối với $t$ là $186 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{2} (186 t) (186 \frac{d}{d t} [t]))$

Bước 14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{2} (186 t) (186 \cdot 1))$

Bước 15

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nhân $186$ với $1$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{2} (186 t) \cdot 186)$

Bước 15.2

Di chuyển $186$ sang phía bên trái của $\cos^{2} (186 t)$ .

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + 186 \cdot \cos^{2} (186 t))$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t)) + 3 (186 \cos^{2} (186 t))$

Bước 16.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Nhân $- 186$ với $3$ .

$- 558 \sin^{2} (186 t) + 3 (186 \cos^{2} (186 t))$

Bước 16.2.2

Nhân $186$ với $3$ .

$- 558 \sin^{2} (186 t) + 558 \cos^{2} (186 t)$

Bước 17

Tính đạo hàm tại $t = 0.002$ .

$- 558 \sin^{2} (186 (0.002)) + 558 \cos^{2} (186 (0.002))$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1

Nhân $186$ với $0.002$ .

$- 558 \sin^{2} (0.372) + 558 \cos^{2} (186 (0.002))$

Bước 18.1.2

Nhân $- 558$ với $\sin^{2} (0.372)$ .

$- 73.72142367 + 558 \cos^{2} (186 (0.002))$

Bước 18.1.3

Nhân $186$ với $0.002$ .

$- 73.72142367 + 558 \cos^{2} (0.372)$

Bước 18.1.4

Nhân $558$ với $\cos^{2} (0.372)$ .

$- 73.72142367 + 484.27857632$

Bước 18.2

Cộng $- 73.72142367$ và $484.27857632$ .

$410.55715264$