Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt[4]{x}$ , $[1, 16]$

Bước 1

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $f (x)$ có liên tục trên $[1, 16]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = \sqrt[4]{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt[4]{x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x \geq 0$

Bước 1.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \geq 0}$

Ký hiệu khoảng:

$[0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \geq 0}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[1, 16]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} \sqrt[4]{x} d x)$

Bước 5

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{4}}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{4}} d x)$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{4}}$ đối với $x$ là $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16})$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ tại $16$ và tại $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} ((\frac{4}{5} \cdot 16^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $16$ ở dạng $2^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Bước 7.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Bước 7.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Bước 7.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 32 - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Bước 7.2.5

Kết hợp $\frac{4}{5}$ và $32$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4 \cdot 32}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Bước 7.2.6

Nhân $4$ với $32$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Bước 7.2.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

Bước 7.2.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5})$

Bước 7.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128 - 4}{5})$

Bước 7.2.10

Trừ $4$ khỏi $128$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{124}{5})$

Bước 8

Trừ $1$ khỏi $16$ .

$A (x) = \frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$

Bước 9

Nhân $\frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $\frac{1}{15}$ với $\frac{124}{5}$ .

$A (x) = \frac{124}{15 \cdot 5}$

Bước 9.2

Nhân $15$ với $5$ .

$A (x) = \frac{124}{75}$

Bước 10