Giải tích Ví dụ

$\sin^{5} (x)$

Bước 1

Viết $\sin^{5} (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sin^{5} (x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sin^{5} (x) d x$

Bước 4

Đưa $\sin^{4} (x)$ ra ngoài.

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Bước 5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Bước 5.2

Viết lại ${\sin (x)}^{2 (2)}$ dưới dạng số mũ.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Bước 6

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sin^{2} (x)$ ở dạng $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Bước 7

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 7.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Bước 9

Khai triển ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại ${(1 - u^{2})}^{2}$ ở dạng $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Bước 9.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Bước 9.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Bước 9.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Bước 9.5

Di chuyển $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Bước 9.6

Di chuyển $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 9.7

Nhân $1$ với $1$ .

$- \int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 9.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 9.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 9.10

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 9.11

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 9.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Bước 9.13

Cộng $2$ và $2$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Bước 9.14

Trừ $u^{2}$ khỏi $- u^{2}$ .

$- \int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Bước 9.15

Sắp xếp lại $- 2 u^{2}$ và $u^{4}$ .

$- \int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Bước 9.16

Di chuyển $1$ .

$- \int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- (\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

Bước 12

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u)$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

Bước 14

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Bước 15.1.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Bước 15.2

Rút gọn.

$- (\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u) + C$

Bước 16

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$- (\frac{\cos^{5} (x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (x)}{3} + \cos (x)) + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

Bước 18

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$