Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{924 + 10 \sqrt{x}}{x}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{924 + 10 x^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 924 + 10 x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [924 + 10 x^{\frac{1}{2}}] - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $924 + 10 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [924] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [924] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}]) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.2

Vì $924$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $924$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}]) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}] - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.4

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (10 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 10

Kết hợp $10$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x \frac{10 x^{- \frac{1}{2}}}{2} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x \frac{10}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 12

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$\frac{x \frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \frac{2 \cdot 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 14

Kết hợp $x$ và $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x \cdot 5}{x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 15

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{\frac{5 \cdot x}{x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 16

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{5 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 17

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 (x^{- \frac{1}{2}} x) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 17.2

Nhân $x^{- \frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 17.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2} + 1} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 17.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 17.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 17.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 18

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 19

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Bước 20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 924 - (10 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Bước 20.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1.1

Nhân $- 1$ với $924$ .

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - 924 - (10 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Bước 20.2.1.2

Nhân $10$ với $- 1$ .

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - 924 - 10 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Bước 20.2.2

Trừ $10 x^{\frac{1}{2}}$ khỏi $5 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} - 924}{x^{2}}$

Bước 20.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 5 x^{\frac{1}{2}} - 924$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (5 x^{\frac{1}{2}}) - 924}{x^{2}}$

Bước 20.3.2

Viết lại $- 924$ ở dạng $- 1 (924)$ .

$\frac{- (5 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (924)}{x^{2}}$

Bước 20.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (5 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (924)$ .

$\frac{- (5 x^{\frac{1}{2}} + 924)}{x^{2}}$

Bước 20.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5 x^{\frac{1}{2}} + 924}{x^{2}}$