Giải tích Ví dụ

$y = \frac{a}{2} \cdot (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \frac{a}{2}$ và $g (x) = e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}$ .

$\frac{a}{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}] + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]$ .

$\frac{a}{2} (\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \frac{x}{a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{x}{a}$ .

$\frac{a}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{a}{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x}{a}$ .

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 3.2

Vì $\frac{1}{a}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{a}$ đối với $x$ là $\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} (\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 3.4

Nhân $\frac{1}{a}$ với $1$ .

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} \frac{1}{a} + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 3.5

Kết hợp $e^{\frac{x}{a}}$ và $\frac{1}{a}$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{d}{d x} [- e^{- \frac{x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 4.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{- \frac{x}{a}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{a}}]$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - \frac{x}{a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- \frac{x}{a}$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{a}])) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{a}])) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- \frac{x}{a}$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{a}])) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 4.4

Vì $- \frac{1}{a}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x}{a}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} (- \frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]))) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} (- \frac{1}{a} \cdot 1))) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 4.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} (- \frac{1}{a}))) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 4.7

Kết hợp $e^{- \frac{x}{a}}$ và $\frac{1}{a}$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - - \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 4.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + 1 \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 4.9

Nhân $\frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}$ với $1$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Bước 5

Vì $\frac{a}{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{a}{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \cdot 0$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{a}{2} \cdot \frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \cdot 0$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{a}{2} \cdot \frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Bước 6.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{a}{2}$ với $\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a}$ .

$\frac{a e^{\frac{x}{a}}}{2 a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Bước 6.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{a e^{\frac{x}{a}}}{2 a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Bước 6.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Bước 6.3.3

Nhân $\frac{a}{2}$ với $\frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{a e^{- \frac{x}{a}}}{2 a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Bước 6.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{a e^{- \frac{x}{a}}}{2 a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Bước 6.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Bước 6.3.5

Nhân $e^{\frac{x}{a}}$ với $0$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Bước 6.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 - e^{- \frac{x}{a}} \cdot 0$

Bước 6.3.7

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 + 0 e^{- \frac{x}{a}}$

Bước 6.3.8

Nhân $0$ với $e^{- \frac{x}{a}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 + 0$

Bước 6.3.9

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0$

Bước 6.3.10

Cộng $\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2}$ và $0$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2}$