Giải tích Ví dụ

$f (t) = (1 - t^{2}) (1 - \frac{3}{t^{2}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = 1 - t^{2}$ và $g (t) = 1 - \frac{3}{t^{2}}$ .

$(1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - \frac{3}{t^{2}}] + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \frac{3}{t^{2}}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]$ .

$(1 - t^{2}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$(1 - t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{t^{2}}$ đối với $t$ là $- 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{t^{2}}$ ở dạng ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 1}$ và $g (t) = t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t^{2}$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t^{2}$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 3.5

Nhân các số mũ trong ${(t^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 3.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- t^{- 4} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{- 4} t)) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 3.7

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{1 - 4})) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 3.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{- 3})) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 3.10

Nhân $- 2$ với $- 3$ .

$(1 - t^{2}) (0 + 6 t^{- 3}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t^{2}) (0 + 6 \frac{1}{t^{3}}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{t^{3}}$ .

$(1 - t^{2}) (0 + \frac{6}{t^{3}}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 4.2.2

Cộng $0$ và $\frac{6}{t^{3}}$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Bước 5.2

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Bước 6

Tính $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t^{2}$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - (2 t))$

Bước 6.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - 2 t)$

Bước 7

Trừ $2 t$ khỏi $0$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (- 2 t)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (- 2 t)$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Bước 8.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $\frac{6}{t^{3}}$ với $1$ .

$\frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Bước 8.3.2

Kết hợp $\frac{6}{t^{3}}$ và $t^{2}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6 t^{2}}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Bước 8.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $t^{2}$ và $t^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Đưa $t^{2}$ ra ngoài $6 t^{2}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Bước 8.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.2.1

Đưa $t^{2}$ ra ngoài $t^{3}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{2} t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Bước 8.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{2} t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Bước 8.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Bước 8.3.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Bước 8.3.5

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + 2 \frac{3}{t^{2}} t$

Bước 8.3.6

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{t^{2}}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{2 \cdot 3}{t^{2}} t$

Bước 8.3.7

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6}{t^{2}} t$

Bước 8.3.8

Kết hợp $\frac{6}{t^{2}}$ và $t$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6 t}{t^{2}}$

Bước 8.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $t$ và $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.9.1

Đưa $t$ ra ngoài $6 t$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t^{2}}$

Bước 8.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.9.2.1

Đưa $t$ ra ngoài $t^{2}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t \cdot t}$

Bước 8.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t \cdot t}$

Bước 8.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6}{t}$

Bước 8.3.10

Cộng $- \frac{6}{t}$ và $\frac{6}{t}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t + 0$

Bước 8.3.11

Cộng $\frac{6}{t^{3}} - 2 t$ và $0$ .

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t$

Bước 8.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 t + \frac{6}{t^{3}}$