Giải tích Ví dụ

$\frac{0.2}{\sqrt{x}} - 3.3 x^{- 2} + 3 x$

Bước 1

Không thể hoàn thành đạo hàm này bằng quy tắc tích số. Mathway sẽ sử dụng một phương pháp khác.

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{0.2}{\sqrt{x}} - 3.3 x^{- 2} + 3 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{0.2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{0.2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{0.2}{\sqrt{x}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{0.2}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.2

Vì $0.2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{0.2}{x^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $0.2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$0.2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$0.2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$0.2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$0.2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$0.2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$0.2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.6

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0.2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$0.2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0.2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0.2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.13

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $x^{- 1}$ .

$0.2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.14

Nhân $x^{- \frac{1}{2}}$ với $x^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$0.2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.14.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$0.2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.14.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$0.2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.14.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0.2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.14.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$0.2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.14.5.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$0.2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.14.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0.2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.15

Di chuyển $x^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0.2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.16

Nhân $- 1$ với $0.2$ .

$- 0.2 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.17

Kết hợp $- 0.2$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.18

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- 3.3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3.3 x^{- 2}$ đối với $x$ là $- 3.3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} - 3.3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} - 3.3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 4.3

Nhân $- 2$ với $- 3.3$ .

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 6.6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 5

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 6.6 x^{- 3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 6.6 x^{- 3} + 3 \cdot 1$

Bước 5.3

Nhân $3$ với $1$ .

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 6.6 x^{- 3} + 3$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$6.6 x^{- 3} + 3 - \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6.6 \frac{1}{x^{3}} + 3 - \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 6.2.2

Kết hợp $6.6$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 6.2.3

Đưa $0.2$ ra ngoài $0.2$ .

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - \frac{0.2 (1)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 6.2.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - \frac{0.2 (1)}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Bước 6.2.5

Tách các phân số.

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - (\frac{0.2}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})$

Bước 6.2.6

Chia $0.2$ cho $2$ .

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - (0.1 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})$

Bước 6.2.7

Kết hợp $0.1$ và $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - \frac{0.1}{x^{\frac{3}{2}}}$