Giải tích Ví dụ

$w = u^{3}$ , $u = \frac{t - 1}{t + 1}$

Bước 1

Quy tắc chuỗi nói rằng đạo hàm của $w$ đối với $t$ bằng với đạo hàm của $w$ đối với $u$ nhân với đạo hàm của $u$ đối với $t$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{d w}{d u} \cdot \frac{d u}{d t}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 u^{2}$

Bước 3

Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t - 1$ và $g (t) = t + 1$ .

$\frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t - 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{(t + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(t + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.4.2

Nhân $t + 1$ với $1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t + 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.7

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 3.2.8.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1)}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t + 1 - t - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $t + 1 - t - - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Trừ $t$ khỏi $t$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.2.1.2

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.2.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 3.3.2.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 4

Nhân $\frac{d w}{d u}$ với $\frac{d u}{d t}$ .

$\frac{d w}{d t} = (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$

Bước 5

Rút gọn vế phải $(\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d w}{d t} = 3 (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot u^{2}$

Bước 5.2

Nhân $3 \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{3 \cdot 2}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

Bước 5.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

Bước 5.3

Kết hợp $\frac{6}{{(t + 1)}^{2}}$ và $u^{2}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 6

Thay giá trị của $u$ vào đạo hàm $\frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(\frac{t - 1}{t + 1})}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{t - 1}{t + 1}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 (\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}})}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 7.2

Kết hợp $6$ và $\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{\frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 7.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

Bước 7.4

Kết hợp.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2} {(t + 1)}^{2}}$

Bước 7.5

Nhân ${(t + 1)}^{2}$ với ${(t + 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2 + 2}}$

Bước 7.5.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{4}}$

Bước 7.6

Nhân $6 {(t - 1)}^{2}$ với $1$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{4}}$