Giải tích Ví dụ

$x = \frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} (\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)})$

Bước 2

Đạo hàm của $x$ đối với $p$ là $x'$ .

$x'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Vì $500$ không đổi đối với $p$ , nên đạo hàm của $\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$ đối với $p$ là $500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$ .

$500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$

Bước 3.1.2

Viết lại $\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}$ ở dạng $\ln^{- 1} (p^{2} + 1)$ .

$500 \frac{d}{d p} [\ln^{- 1} (p^{2} + 1)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ là $f' (g (p)) g' (p)$ trong đó $f (p) = p^{- 1}$ và $g (p) = \ln (p^{2} + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\ln (p^{2} + 1)$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\ln (p^{2} + 1)$ .

$500 (- \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Bước 3.3

Nhân $- 1$ với $500$ .

$- 500 (\ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ là $f' (g (p)) g' (p)$ trong đó $f (p) = \ln (p)$ và $g (p) = p^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $p^{2} + 1$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Bước 3.4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $p^{2} + 1$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{p^{2} + 1}$ và $- 500$ .

$\frac{- 500}{p^{2} + 1} \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Bước 3.5.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Kết hợp $\frac{- 500}{p^{2} + 1}$ và $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ .

$\frac{- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1)}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Bước 3.5.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Di chuyển $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Bước 3.5.2.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Bước 3.5.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $p^{2} + 1$ đối với $p$ là $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1]$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1])$

Bước 3.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ là $n p^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + \frac{d}{d p} [1])$

Bước 3.5.5

Vì $1$ là hằng số đối với $p$ , đạo hàm của $1$ đối với $p$ là $0$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + 0)$

Bước 3.5.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1

Cộng $2 p$ và $0$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p)$

Bước 3.5.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Bước 3.5.6.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ .

$\frac{- 2 \cdot 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Bước 3.5.6.4

Nhân $- 2$ với $500$ .

$\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Bước 3.5.6.5

Kết hợp $\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ và $p$ .

$\frac{- 1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

Bước 3.5.6.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

Bước 3.5.6.6.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ .

$- \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$x' = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

Bước 5

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$