Giải tích Ví dụ

$5 x^{2} {(6 x + 8)}^{4}$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2} {(6 x + 8)}^{4}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 x + 8)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 x + 8)}^{4}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = {(6 x + 8)}^{4}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x + 8)}^{4}] + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = 6 x + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $6 x + 8$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [6 x + 8]) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$5 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [6 x + 8]) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $6 x + 8$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} \frac{d}{d x} [6 x + 8]) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x + 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [8])) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.2

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.4

Nhân $6$ với $1$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (6 + \frac{d}{d x} [8])) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.5

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (6 + 0)) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Cộng $6$ và $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} \cdot 6) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.6.2

Nhân $6$ với $4$ .

$5 (x^{2} (24 {(6 x + 8)}^{3}) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 (x^{2} (24 {(6 x + 8)}^{3}) + {(6 x + 8)}^{4} (2 x))$

Bước 4.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(6 x + 8)}^{4}$ .

$5 (x^{2} (24 {(6 x + 8)}^{3}) + 2 \cdot {(6 x + 8)}^{4} x)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 (x^{2} (24 {(6 x + 8)}^{3})) + 5 (2 {(6 x + 8)}^{4} x)$

Bước 5.2

Nhân $24$ với $5$ .

$120 (x^{2} ({(6 x + 8)}^{3})) + 5 (2 {(6 x + 8)}^{4} x)$

Bước 5.3

Nhân $2$ với $5$ .

$120 x^{2} {(6 x + 8)}^{3} + 10 ({(6 x + 8)}^{4} x)$

Bước 5.4

Đưa $10 x {(6 x + 8)}^{3}$ ra ngoài $120 x^{2} {(6 x + 8)}^{3} + 10 {(6 x + 8)}^{4} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $10 x {(6 x + 8)}^{3}$ ra ngoài $120 x^{2} {(6 x + 8)}^{3}$ .

$10 x {(6 x + 8)}^{3} (12 x) + 10 {(6 x + 8)}^{4} x$

Bước 5.4.2

Đưa $10 x {(6 x + 8)}^{3}$ ra ngoài $10 {(6 x + 8)}^{4} x$ .

$10 x {(6 x + 8)}^{3} (12 x) + 10 x {(6 x + 8)}^{3} (6 x + 8)$

Bước 5.4.3

Đưa $10 x {(6 x + 8)}^{3}$ ra ngoài $10 x {(6 x + 8)}^{3} (12 x) + 10 x {(6 x + 8)}^{3} (6 x + 8)$ .

$10 x {(6 x + 8)}^{3} (12 x + 6 x + 8)$

Bước 5.5

Cộng $12 x$ và $6 x$ .

$10 x {(6 x + 8)}^{3} (18 x + 8)$