Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{1 + \cos (2 x)}$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $1 + \cos (u_{1})$ .

$\int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Bước 4

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (x)$ thành $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 5

Sử dụng đẳng thức pytago để chuyển đổi $1$ thành $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Trừ ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ khỏi ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Bước 6.2

Cộng ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ và ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Bước 6.3

Cộng $2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ và $0$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 7

Nhân đối số với $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Bước 8

Kết hợp.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Bước 9

Nhân ${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Bước 10

Viết lại $\sec (\frac{u}{2})$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

Bước 11

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Bước 12

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Bước 13

Nhân $2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ và $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 13.2

Kết hợp $\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ và $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Bước 14

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 15

Viết lại $\sec (\frac{u}{2})$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 16

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 17

Kết hợp.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Bước 18

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{2} (\frac{u}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Bước 18.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 19

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 20

Nhân với $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

Bước 21

Tách các phân số.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 22

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ sang $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Bước 23

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Bước 23.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

Bước 24

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1})$

Bước 25

Giả sử $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , nên $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1

Hãy đặt $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1.1

Tính đạo hàm $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Bước 25.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $\frac{u_{1}}{2}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 25.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 25.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 25.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2})$

Bước 26

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2})$

Bước 26.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2})$

Bước 26.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Bước 27

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}))$

Bước 28

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Bước 28.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Bước 28.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Bước 28.3

Nhân $\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Bước 29

Vì đạo hàm của $\tan (u_{2})$ là $\sec^{2} (u_{2})$ , tích phân của $\sec^{2} (u_{2})$ là $\tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\tan (u_{2}) + C)$

Bước 30

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \tan (u_{2}) + C$

Bước 31

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 31.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C$

Bước 31.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

Bước 32

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.1

Rút gọn biểu thức $\frac{2 x}{2}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 32.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

Bước 32.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \tan (\frac{x}{1}) + C$

Bước 32.2

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} \tan (x) + C$