Giải tích Ví dụ

$y = \sec (x) (x - \tan (x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = x - \tan (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [x - \tan (x)] + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \tan (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\sec (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec (x) (1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \tan (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\sec (x) (1 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 3

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 4

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \sec (x) \tan (x)$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x \sec (x) - \tan (x) \sec (x)) \tan (x)$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Bước 5.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $\sec (x)$ với $1$ .

$\sec (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Bước 5.4.2

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Bước 5.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 2} + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Bước 5.4.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Bước 5.4.5

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)$

Bước 5.4.6

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)$

Bước 5.4.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

Bước 5.4.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Bước 5.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Bước 5.6

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $x \sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Bước 5.6.2

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Bước 5.6.3

Nhân với $1$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 - \sec^{3} (x)$

Bước 5.6.4

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $- \sec^{3} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Bước 5.6.5

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Bước 5.6.6

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Bước 5.6.7

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1 - \sec^{2} (x))$

Bước 5.7

Sắp xếp lại $1$ và $- \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1)$

Bước 5.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + 1)$

Bước 5.9

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1)$

Bước 5.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - 1))$

Bước 5.11

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Bước 5.12

Trừ $\tan^{2} (x)$ khỏi $- \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - 2 \tan^{2} (x))$

Bước 5.13

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- 2 \tan^{2} (x))$

Bước 5.14

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$

Bước 5.15

Sắp xếp lại các thừa số trong $\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$x \sec (x) \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$