Giải tích Ví dụ

$\ln (\sin (x)) - \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\ln (\sin (x)) - \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Bước 2.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 \sin (x) \cos (x))$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\csc (x) \cos (x) - 2 (\frac{1}{2}) (\sin (x) \cos (x))$

Bước 3.5

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- 2}{2} (\sin (x) \cos (x))$

Bước 3.6

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{- 2}{2}$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 2}{2} \cos (x)$

Bước 3.7

Kết hợp $\frac{\sin (x) \cdot - 2}{2}$ và $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 2 \cos (x)}{2}$

Bước 3.8

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $\sin (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- 2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{2}$

Bước 3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2}$

Bước 3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2 (1)}$

Bước 3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2 \cdot 1}$

Bước 3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- \sin (x) \cos (x)}{1}$

Bước 3.9.2.4

Chia $- \sin (x) \cos (x)$ cho $1$ .

$\csc (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\cos (x) \csc (x) - \cos (x) \sin (x)$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \sin (x)$

Bước 4.2.2

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \sin (x)$

Bước 4.3

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$\cot (x) - \cos (x) \sin (x)$