Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{\cot (2 x)}{\csc (5 x)}$

Bước 1

Viết lại $\csc (5 x)$ theo sin và cosin.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (5 x)}}]$

Bước 2

Viết lại $\cot (2 x)$ theo sin và cosin.

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (5 x)}}]$

Bước 3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (5 x)}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (5 x)]$

Bước 4

Viết $\sin (5 x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{1}]$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia $\sin (5 x)$ cho $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (5 x)]$

Bước 5.2

Quy đổi từ $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ sang $\cot (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (2 x) \sin (5 x)]$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cot (2 x)$ và $g (x) = \sin (5 x)$ .

$\cot (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $5 x$ .

$\cot (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Bước 7.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cot (2 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Bước 7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $5 x$ .

$\cot (2 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Bước 8

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cot (2 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cot (2 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Bước 8.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $5$ với $1$ .

$\cot (2 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Bước 8.3.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\cot (2 x) \cos (5 x)$ .

$5 \cdot (\cot (2 x) \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 9.2

Đạo hàm của $\cot (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 9.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 10

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1)$

Bước 10.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Bước 11.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Viết lại $\cot (2 x)$ theo sin và cosin.

$5 \cos (5 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Bước 11.2.2

Nhân $5 \cos (5 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Kết hợp $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ và $5$ .

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5}{\sin (2 x)} \cos (5 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Bước 11.2.2.2

Kết hợp $\frac{\cos (2 x) \cdot 5}{\sin (2 x)}$ và $\cos (5 x)$ .

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5 \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Bước 11.2.3

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$\frac{5 \cdot \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Bước 11.2.4

Viết lại $\csc (2 x)$ theo sin và cosin.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 {(\frac{1}{\sin (2 x)})}^{2} \sin (5 x)$

Bước 11.2.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

Bước 11.2.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \frac{1}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

Bước 11.2.7

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

Bước 11.2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

Bước 11.2.9

Kết hợp $\sin (5 x)$ và $\frac{2}{\sin^{2} (2 x)}$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{\sin (5 x) \cdot 2}{\sin^{2} (2 x)}$

Bước 11.2.10

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sin (5 x)$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

Bước 11.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Tách các phân số.

$\frac{5 \cos (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

Bước 11.3.2

Quy đổi từ $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ sang $\cot (2 x)$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{1} \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

Bước 11.3.3

Chia $5 \cos (5 x)$ cho $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

Bước 11.3.4

Đưa $\sin (2 x)$ ra ngoài $\sin^{2} (2 x)$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin (2 x) \sin (2 x)}$

Bước 11.3.5

Tách các phân số.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)})$

Bước 11.3.6

Viết lại $\frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)}$ ở dạng một tích.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \frac{1}{\sin (2 x)}))$

Bước 11.3.7

Viết $\sin (5 x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}))$

Bước 11.3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.8.1

Chia $\sin (5 x)$ cho $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \frac{1}{\sin (2 x)}))$

Bước 11.3.8.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (2 x)}$ sang $\csc (2 x)$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

Bước 11.3.9

Tách các phân số.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

Bước 11.3.10

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (2 x)}$ sang $\csc (2 x)$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{1} \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

Bước 11.3.11

Chia $2$ cho $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

Bước 11.3.12

Nhân $2 \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.12.1

Nâng $\csc (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 (\csc^{1} (2 x) \csc (2 x)) \sin (5 x))$

Bước 11.3.12.2

Nâng $\csc (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 (\csc^{1} (2 x) \csc^{1} (2 x)) \sin (5 x))$

Bước 11.3.12.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 {\csc (2 x)}^{1 + 1} \sin (5 x))$

Bước 11.3.12.4

Cộng $1$ và $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x))$

Bước 11.3.13

Nhân $2$ với $- 1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$