Giải tích Ví dụ

$f (t) = \sqrt[3]{t^{2} - 5} {(3 t - 5)}^{3}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{t^{2} - 5}$ ở dạng ${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ và $g (t) = {(3 t - 5)}^{3}$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [{(3 t - 5)}^{3}] + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{3}$ và $g (t) = 3 t - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 t - 5$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [3 t - 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [3 t - 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 t - 5$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(3 t - 5)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t - 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3 \cdot {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t - 5] + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 t - 5$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 4.3

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 4.5

Nhân $3$ với $1$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 4.6

Vì $- 5$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $t$ là $0$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 + 0) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 4.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Cộng $3$ và $0$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} \cdot 3 + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 4.7.2

Nhân $3$ với $3$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ và $g (t) = t^{2} - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $t^{2} - 5$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $t^{2} - 5$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Bước 6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Bước 7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Bước 8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Bước 9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Bước 9.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Bước 10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Bước 10.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{{(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Bước 10.3

Di chuyển ${(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Bước 10.4

Kết hợp $\frac{1}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ và ${(3 t - 5)}^{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5]$

Bước 11

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{2} - 5$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5])$

Bước 12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + \frac{d}{d t} [- 5])$

Bước 13

Vì $- 5$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $t$ là $0$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + 0)$

Bước 14

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Cộng $2 t$ và $0$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 t)$

Bước 14.2

Kết hợp $2$ và $\frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} t$

Bước 14.3

Kết hợp $\frac{2 {(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ và $t$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15

Để viết $9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} \cdot \frac{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 16

Kết hợp $9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2}$ và $\frac{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}) + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18

Nhân $3$ với $9$ .

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 19

Nhân ${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ với ${(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Di chuyển ${(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{27 ({(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 19.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 19.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2 + 1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 19.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{3}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 19.5

Chia $3$ cho $3$ .

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{1} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 20

Rút gọn $27 {(t^{2} - 5)}^{1} {(3 t - 5)}^{2}$ .

$\frac{27 (t^{2} - 5) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(27 t^{2} + 27 \cdot - 5) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1

Đưa ${(3 t - 5)}^{2}$ ra ngoài $(27 t^{2} + 27 \cdot - 5) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1.1

Đưa ${(3 t - 5)}^{2}$ ra ngoài $(27 t^{2} + 27 \cdot - 5) {(3 t - 5)}^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5) + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2.1.2

Đưa ${(3 t - 5)}^{2}$ ra ngoài $2 {(3 t - 5)}^{3} t$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5) + {(3 t - 5)}^{2} (2 (3 t - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2.1.3

Đưa ${(3 t - 5)}^{2}$ ra ngoài ${(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5) + {(3 t - 5)}^{2} (2 (3 t - 5) t)$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5 + 2 (3 t - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2.2

Nhân $27$ với $- 5$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 2 (3 t - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + (2 (3 t) + 2 \cdot - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2.4

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + (6 t + 2 \cdot - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2.5

Nhân $2$ với $- 5$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + (6 t - 10) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 6 t \cdot t - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2.7

Nhân $t$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.7.1

Di chuyển $t$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 6 (t \cdot t) - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2.7.2

Nhân $t$ với $t$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 6 t^{2} - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2.8

Cộng $27 t^{2}$ và $6 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (33 t^{2} - 135 - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 21.2.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (33 t^{2} - 10 t - 135)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$