Giải tích Ví dụ

${(e^{- 2 x} + 1)}^{3}$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$\int {(e^{- 2 x})}^{3} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Bước 1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{- 2 x})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- 2 x \cdot 3} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Bước 1.2.1.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Bước 1.2.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{- 2 x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 2 x \cdot 2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Bước 1.2.2.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Bước 1.2.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Bước 1.2.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} \cdot 1 + 1^{3} d x$

Bước 1.2.5

Nhân $3$ với $1$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} + 1^{3} d x$

Bước 1.2.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} + 1 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int e^{- 6 x} d x + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = - 6 x$ . Sau đó $d u_{1} = - 6 d x$ , nên $- \frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = - 6 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$

Bước 3.1.2

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $- 6$ với $1$ .

$- 6$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{- 6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int e^{u_{1}} (- \frac{1}{6}) d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 4.2

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{e^{u_{1}}}{6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{e^{u_{1}}}{6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 6

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 7

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 8

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 9

Giả sử $u_{2} = - 4 x$ . Sau đó $d u_{2} = - 4 d x$ , nên $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u_{2} = - 4 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 9.1.2

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Bước 9.1.4

Nhân $- 4$ với $1$ .

$- 4$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 10.2

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 11

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 12

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 3 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 13

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 3 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $- 3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 3}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 14.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 15

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 16

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{- 2 x} d x + \int d x$

Bước 17

Giả sử $u_{3} = - 2 x$ . Sau đó $d u_{3} = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{3} = d x$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Hãy đặt $u_{3} = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 17.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 17.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 17.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 17.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3} + \int d x$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3} + \int d x$

Bước 18.2

Kết hợp $e^{u_{3}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3} + \int d x$

Bước 19

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}) + \int d x$

Bước 20

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - 3 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3} + \int d x$

Bước 21

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - 3 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}) + \int d x$

Bước 22

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + \frac{- 3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3} + \int d x$

Bước 22.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3} + \int d x$

Bước 23

Tích phân của $e^{u_{3}}$ đối với $u_{3}$ là $e^{u_{3}}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} (e^{u_{3}} + C) + \int d x$

Bước 24

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} (e^{u_{3}} + C) + x + C$

Bước 25

Rút gọn.

$- \frac{1}{6} e^{u_{1}} - \frac{3}{4} e^{u_{2}} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

Bước 26

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- 6 x$ .

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{u_{2}} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

Bước 26.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 4 x$ .

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{- 4 x} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

Bước 26.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $- 2 x$ .

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{- 4 x} - \frac{3}{2} e^{- 2 x} + x + C$