Giải tích Ví dụ

$r = (10 + \sec (x)) \sin (x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} ((10 + \sec (x)) \sin (x))$

Bước 2

Đạo hàm của $r$ đối với $x$ là $r'$ .

$r'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 10 + \sec (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$(10 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [10 + \sec (x)]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$(10 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [10 + \sec (x)]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $10 + \sec (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$(10 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 3.3.2

Vì $10$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $10$ đối với $x$ là $0$ .

$(10 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 3.3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$(10 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 3.4

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$(10 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\sec (x) \tan (x))$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$10 \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

Bước 3.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\cos (x) \sec (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1

Sắp xếp lại $\cos (x)$ và $\sec (x)$ .

$\sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.3.1.2

Viết lại $\cos (x) \sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.3.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$1 + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.3.2

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$1 + \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.3.3

Kết hợp $\frac{1}{\cos (x)}$ và $\sin (x)$ .

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.3.4

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.3.5

Nhân $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.5.1

Nhân $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ với $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.3.5.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.3.5.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.3.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.3.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.3.5.6

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.3.5.7

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.3.5.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.3.5.9

Cộng $1$ và $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.4

Quy đổi từ $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ sang $\tan^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\tan^{2} (x) + 1 + 10 \cos (x)$

Bước 3.5.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\sec^{2} (x) + 10 \cos (x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$r' = \sec^{2} (x) + 10 \cos (x)$

Bước 5

Thay thế $r'$ bằng $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = \sec^{2} (x) + 10 \cos (x)$