Giải tích Ví dụ

$3 \sin (x) \cos (y) = 1$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (3 \sin (x) \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \sin (x) \cos (y)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \cos (y)$ .

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$3 (\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.5

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x))$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y')) + 3 (\cos (y) \cos (x))$

Bước 2.6.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (y) \cos (x)$

Bước 2.6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y)$

Bước 3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y) = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y)$ .

$- 3 y' \sin (x) \sin (y) + 3 \cos (x) \cos (y) = 0$

Bước 5.2

Trừ $3 \cos (x) \cos (y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$ cho $- 3 \sin (x) \sin (y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$ cho $- 3 \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{- 3 y' \sin (x) \sin (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 y' \sin (x) \sin (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' \sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' \sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Bước 5.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Bước 5.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Bước 5.3.2.3.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Bước 5.3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (x) \sin (y)}$

Bước 5.3.3.2

Tách các phân số.

$y' = \frac{\cos (y)}{\sin (y)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 5.3.3.3

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{\sin (y)} \cot (x)$

Bước 5.3.3.4

Quy đổi từ $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ sang $\cot (y)$ .

$y' = \cot (y) \cot (x)$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (y) \cot (x)$